Approximation Sobolev-Funktionen

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F14 Auf diesen Beitrag antworten »
Approximation Sobolev-Funktionen
Meine Frage:
Hallo!

Folgende Frage beschäftigt mich: In der Vorlesung haben wir gezeigt, dass für eine offene Menge A die glatten Funktionen mit Lp-Ableitungen dicht im Sobolevraum W(k,p)(A) liegen.
Dazu hat der Prof gesagt, dass das noch nicht heißt, dass auch die glatten Funktionen mit kompaktem Träger im R^n, eingeschränkt auf A, dicht in W(k,p)(A) liegen.
Meine naive Frage: Warum nimmt man nicht eine glatte Funktion aus dem obigen Satz und lässt sie am Rand von A glatt herunterlaufen?

Meine Ideen:
Zwar muss eine solche glatte Funktion auf dem Rand ja nicht mehr definiert sein, aber kann ich sie nicht auf einer geeignet kleinen Umgebung abändern, ohne dass sich die ihre Lp-Norm (und damit auch die Sobolev-Norm) auf A insgesamt nicht verändert?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Eine gute Idee. So kann man es auch machen, wenn man etwas in der Norm approximieren will.

Das Problem dabei ist, dass du eine grosse Ableitung hast, wenn du etwas in einer kleinen Umgebung plötzlich gegen 0 schickst. Und je kleiner die Umgebung, desto größer muss die Ableitung sein.

Im Allgemeinen kann man auch nicht , durch Funktionen mit kompakten Träger approximieren. (Wenigstens nicht auf beschränkten, offenen Mengen.)

Man definiert dann als den Teilraum, den man durch glatte Funktionen mit kompakten Träger approximieren kann. Und üblicherweise .
F14 Auf diesen Beitrag antworten »

So ganz hab ich's noch nicht verstanden. Vielleicht kannst du mir hier meinen Fehler nochmal aufzeigen, den Rest frag ich dann in der Übung Augenzwinkern

Wenn ich die glatte Funktion f, die ein u aus W(k,p)(A) approximiert, durch eine weitere glatte Funktion g approximiere:
Mit f = g auf A\U wobei U eine kleine Umgebung des Randes von A ist, auf der die Sobolev-Norm von f verschwindet. Und dann führ ich g nicht innerhalb von U glatt auf 0 herunter (sonst wird ja wie du erklärt hast die Lp-Norm der Ableitung von g sehr groß), sonden erst außerhalb von A (das "betrifft" die auf A eingeschränkte Funktion ja nicht mehr). Ich mache g ab dem Rand von U sozusagen glatt konstant, somit sind Lp-Norm von sowohl g (siehe (1)) als auch g' kleiner als die von f (die ja per def von U dort schon hinreichend klein).
Somit wäre k=1 gelöst, für höhere k dann analog.

(1)
f muss ja betragsmäßig divergieren am Rand von A (sonst wärs ja auf dem Rand stetig), also liegt die ab U abgeflachte
Funktion g sicherlich betragsmäßig unter ihr.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe deine Argumentation nicht wirklich.

Nehmen wir an, ist die konstante Funktion und , einfach das eindimensionale Standardintervall. Und diese willst du durch glatte mit kompakten Träger approximieren, in der Norm. Machen wir es sogar noch leichter und sagen muss nur Lipschitz stetig sein mit .

Ich behaupte für eine konstante, unabhängig von . Insbesondere kann man es nicht approximieren. Hier kannst du leicht angeben wie gross das Gebiet ist, auf dem du haben willst (offenbar die optimale Wahl) und linear gegen 0 laufen lassen wann du willst. Nun kannst du ausrechnen, dass egal wie du es wählst, unter eine gewisse Schranke nicht kommst.

Edit: Noch leichter. Vergessen wir noch und fordern nur noch . Offenbar wuerde man es eh symmetrisch machen.
F14 Auf diesen Beitrag antworten »

In diesem Fall würde ich g erst außerhalb des Intervalls abfallen lassen, was kein Problem ist, da die glatte Approximation an f ja stetig auf dem Rand fortgesetzt werden kann. Dass die glatten Funktionen mit kompaktem Träger nicht dicht in W(k,p)(A) liegen ist mir klar, es ging jetzt um solche die auf ganz R^n glatt und mit kompaktem Träger sind (also insbesondere eben glatt auf dem Rand von A). Mittlerweile hab ich bei Evans was gefunden, und zwar muss der Rand von A dazu C1 sein.
Den Beweis schau ich mir heute Abend mal an. Hast mir trotzdem sehr geholfen das ganze zu verstehen, Danke Freude
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ahso meintest du das. Das meinte dein Professor aber sicherlich nicht. Er meinte kompakter Träger in .

Jedenfalls gibt es jede Menge Fortsetzungsätze für Funktionen. Es reicht das sicherlich für Lipschitzfunktionen zu machen und dann zu glätten. Ich weiß nicht wie regulär dafür der Rand sein muss. Ich würde vermuten Lipschitz-Rand ist dafür mehr als genug. Aber wetten würde ich nicht.
 
 
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