Periode einer Folge

30.10.2017, 15:33	.unknown.	Auf diesen Beitrag antworten »
Periode einer Folge Meine Frage: Hallo zusammen Ich soll für folgende Folge $\begin{eqnarray} S_{n+3} = S_{n+1}+aS_n \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} a \in \left\{0,...,9\right\} \end{eqnarray}$ bestimmen, sodass die Folge in $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{31} \end{eqnarray}$ die grösste Periode hat. Meine Ideen: Das charakteristische Polynom der Folge ist $\begin{eqnarray} \phi(z) = z^3-z-a \end{eqnarray}$ . Da wir und in $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{31} \end{eqnarray}$ befinden muss die Ordnung des Polynoms $\begin{eqnarray} 31^3-1 \end{eqnarray}$ teilen. ( $\begin{eqnarray} 31^3-1 = 2\cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 331 \end{eqnarray}$ ). Also ist die Ordnung entweder $\begin{eqnarray} 31^3-1 \end{eqnarray}$ oder sie teilt $\begin{eqnarray} \frac{31^3-1}{p} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} p \in \left\{2,3,5,331\right\} \end{eqnarray}$ . Also muss ich $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ finden, so dass $\begin{eqnarray} \phi(z) \| z^e - 1 \end{eqnarray}$ . Die Ordnung $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ sollte dann ja der länge der Periode entsprechen. Wie finde ich dieses $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ jeweils für alle $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ?

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