Dgl

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dc33 Auf diesen Beitrag antworten »
Dgl
Hallo alle zusammen ,
habe gerade probleme bei dieser Aufgabe:
Uberfuhren Sie die Differentialgleichungen
durch Einfuhren neuer Variablen jeweils auf aquivalente Systeme erster Ordnung. Uberprufen Sie, dass Losungen der skalaren Gleichungen jeweils solchen der Systeme entsprechen, und umgekehrt.


y´´+2y+x = 0

Wie gehe ich denn hier vor?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo dc33,

wenn du eine skalare DGL n-ter (höherer) Ordnung in ein DGL-System 1. Ordnung überführen willst, dann nimmst du als Variablen

,

also quasi die Funktion selber und alle Ableitungen bis zur (n-1)-ten. Die restlichen DGLen sind dann gegeben durch (y_1)' = y_2, usw., und als n-te DGL nimmt man die Ausgangsgleichung, nur entsprechend der neuen Benennung umgeschrieben (also (y_2)' statt y'', usw.)

Evtl. hilft dir das auch schon, zu sehen, dass zu einer Lösung der skalaren DGL n-ter Ordnung genau eine Lösung des DGL-Systems 1. Ordnung korrespondiert, und umgekehrt?

LG
sibelius84
dc33 Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du das ich y´´ zu y2 umbenennen soll?
Oder wie genau?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wenn du bei 1 anfängst, dann musst du ja erstmal y_1 := y setzen. Demnach wäre y_2 := y' und y_3 := y''. Aber: Du hast ja nur eine skalare DGL 2. Ordnung. Daraus werden zwei DGLen 1. Ordnung, also brauchen wir nur 2 Variablen.
Nun sieht ja ein DGL-System so aus

,

bzw.

,

wobei die Einträge der Matrix A Funktionsterme sind, insbesondere also möglicherweise auch noch von y und t abhängen.

Also bringst du y'' einfach unter als (y_2)'.
dc33 Auf diesen Beitrag antworten »

y´´+2y+x = 0

y_3+2y_1+x = 0


Wie geht es weiter ?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast nur zwei Variablen y_1, y_2. Im System stehen deren Ableitungen auf der linken Seite und der Rest auf der rechten.

(y_1)' = ...
(y_2)' = ...

Wenn y_2 die erste Ableitung von y_1=y ist, dann muss (y_2)' die zweite Ableitung von y sein, oder?
 
 
dc33 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso y_1und y_2?

In dieser Aufgabe gibt es doch :

y‘‘=y_3

y=y_1
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, du meinst, weil das in der DGL nicht auftaucht. Nun, das ist egal. Es zählt immer die gesamte "Spannweite". Ein Beispiel:



würde als System so gehen:

.

Diese DGL hier ist dritter Ordnung, also drei Variablen (bis y_3 alle der Reihe nach und kein y_4!). Die ursprüngliche DGL liest sich dann



und wird noch ergänzt durch

sowie .
dc33 Auf diesen Beitrag antworten »

Also:

y´´+2y+x = 0

Das ist doch dgl 2 Ordnung also einfach:

y_3+2y_1 +x= 0

Ist das so Ok?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Leider nein. Du hast eine DGL 2. Ordnung und darfst deshalb nur bis y_2 runtergehen, es darf kein y_3 vorkommen. Da musst du stattdessen (y_2)' verwenden.
dc33 Auf diesen Beitrag antworten »

(y_2)´+(2y_1)´+x = 0

Wie geht es weiter ?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

y_1 war vorher richtig, weil in der Ausgangsgleichung ja y steht und y_1:=y gesetzt wurde. Jetzt steht da plötzlich (y_1)', das ist falsch.
dc33 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ,das ich es jetzt verstehe

(y_2)´+2y_1+x = 0

2y_1 = -x-(y_2)´


Soll ich jetzt irgendwie integrieren oder so?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt besser! Ich würde aber nicht nach 2y_1, sondern nach (y_2)' umformen. Damit hast du dann die zweite Gleichung "(y_2)'=...". Dann brauchst du noch die erste Gleichung "(y_1)'=...".
dc33 Auf diesen Beitrag antworten »

(y_2)´+2y_1+x = 0

(y_2)´= -2y_1-x


hmm .Soll ich das (y_2)´ dann in die 1 Gleichung einsetzen ?

Das würde ja 0 ergeben.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Das müsstest du nur dann machen, wenn die Aufgabenstellung umgekehrt wäre - ein nxn-DGL-System 1. Ordnung in eine skalare DGL n-ter Ordnung zu überführen. (Wird aber selten verlangt, weil es auch DGL-Systeme gibt, bei denen das nicht geht.)

Mit (y_2)' = -2y_1-x hast du jetzt erfolgreich deine Gleichung (II) aus dem DGL-System aufgestellt. Es fehlt noch Gleichung (I). Schau ggfs noch mal in den oberen Posts nach, da stand es irgendwo drin, was da reinkommt.

Warum willst du integrieren? Um die Behauptung zu beweisen, dass Lösungen des Systems äquivalent sind zu Lösungen der skalaren DGL? Dafür würde ich besser
-> zu einer Lösung y der skalaren DGL ein Paar von Funktionen (y_1, y_2) "erraten", das das System erfüllt,
-> zu einem Lösungspaar (y_1, y_2) eine skalare Funktion y "erraten", die die skalare DGL erfüllt,
-> schließlich noch begründen, dass die Zuordnung y |-> (y_1, y_2) bijektiv ist.
dc33 Auf diesen Beitrag antworten »

I y_1 = y

(y_2)´= -2y_1-x


Puuh wirkt alles sehr kompliziert.

Ist Gleichung 1 richtig?
dc33 Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll ich den. genau weiter machen ?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Gegeben war . Führe die neue Variable ein, woraus durch Differenzieren folgt . Einsetzen der letzten Gleichung in die ursprüngliche Differentialgleichung liefert zusammen mit der genannten Substitution ein Gleichungssystem 1.Ordnung




Man "erkennt" sofort die speziellen Lösungen und . Nach der allgemeinen Theorie ist die allgemeine Lösung die Summe aus dieser speziellen Lösung und der Lösung des homogenen Systems (also ohne rechte Seite)




Für das homogene Systems macht man den Ansatz




Dabei sind konstante Koeffizienten, und ist ebenfalls eine noch unbekannte Konstante. Setzt man diesen Ansatz in das homogene System ein und dividiert alles durch , ergibt sich ein Gleichungssystem für die Koeffizienten . Löse dieses System usw.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Für lineare DGL wärs einfacher die Laplace Transformation zu nehmen smile



Jetzt nur noch Rücktransformieren, fertig! smile
dc33 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du auf die ersten 2 Gleichungen Ehos?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dc33
I y_1 = y

(y_2)´= -2y_1-x


Puuh wirkt alles sehr kompliziert.

Ist Gleichung 1 richtig?


Ein (homogenes) DGL-System hat die Form

.

Das heißt, wie schon in einem vorigen Post geschrieben, dass auf der linken Seite der n Gleichungen des Systems jeweils die abgeleiteten Komponenten des Vektors stehen. Daher darf deine erste Gleichung nicht mit y_1, sondern muss mit (y_1)' anfangen. y darf auch nicht drin vorkommen, denn deine n neuen Variablen sind ja y_1, ..., y_n (bzw. hier wegen n=2 nur y_1 und y_2).
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe nicht, warum du nicht einfach die Laplacetransformation nutzen willst.

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