Bijektivität zeigen

31.10.2017, 18:22	Cobran	Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektivität zeigen Meine Frage: Hey, Ich sitze gerade an meinem 2. Übungsblatt und habe das soweit fertig, allerdings gibt es eine Aufgabe bei der ich nicht weiter komme: Es seien f: A->B eine Injektive Abbildung und f(A) c B (c steht für Teilmenge) das Bild von f. Es sei g: A ?> f(A) die durch a?>f(a) definierte Abbildung. Man zeige, dass g bijektiv ist. Ich hab nun einfach mal versucht ganz logisch da heran zu gehen. Da ja f injektiv ist also für alle b e B höchstens ein a e A existiert und g nur auf den Bildbereich von f abbildet(also alle nicht getroffenen fallen weg). Müsste g dadurch doch surjektiv sein!? Allerdings komme ich auf keine mathematische Lösung. Stehe irgendwie auf dem Schlauch. Vllt kann mir ja jmd. einen Lösungsansatz oder einen Tipp geben. Danke schonmal Cobran Meine Ideen: Da ja f injektiv ist also für alle b e B höchstens ein a e A existiert und g nur auf den Bildbereich von f abbildet(also alle nicht getroffenen fallen weg). Müsste g dadurch doch surjektiv sein!?
31.10.2017, 18:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Würdest du bitte unseren Formeleditor http://www.matheboard.de/formeleditor.php benutzen ? Sonst versteht niemand die Aufgabe. Du lernst dabei sehr schnell, wie man hier LATEX benutzen kann.
31.10.2017, 19:03	Cobran	Auf diesen Beitrag antworten »
OK da der letzte versuch auch in die Hose ging hier ein neuer: Es seien f: A->B eine Injektive Abbildung und $\begin{eqnarray} f(A)\subset B \end{eqnarray}$ das Bild von f. Es sei g: A -> f(A) die durch a->f(a) definierte Abbildung. Man zeige, dass g bijektiv ist.
31.10.2017, 22:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Idee ist gut. Für die Surjektivitaet muss man nicht die Elemente betrachten, die von f nicht getroffen werden sondern nur die Elemente, die von g getroffen werden.
31.10.2017, 23:34	Cobran	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke für die Rückmeldung. Gut zu wissen das ich auf dem richtigen Weg bin. Mein Problem gerade ist nur das ich zwar in Worten ausdrücken kann wieso g bijektiv ist, jedoch komm ich nicht drauf wie ich es mathematisch zeigen soll. Wenn f injektiv ist und g nur auf den Bildbereich von f abbildet, ist es ja logisch das g surjektiv ist. Und da der Definitionsbereich von g und f gleich ist (A=A) müsste g ja auch injektiv sein. Also bijektiv da ich ja bildlich gesagt von einem element aus A auf immer genau ein Element von f(A) abbilde. Nur wie stelle ich das nun Mathematisch dar?
01.11.2017, 08:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Definition benutzen. $\begin{eqnarray} y\in g(A)\Rightarrow \exists x\in A: g(x)=f(x)=y \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x_1\ne x_2\Rightarrow g(x_1)=f(x_1)\ne f(x_2)=g(x_2) \end{eqnarray}$
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01.11.2017, 18:24	Cobran	Auf diesen Beitrag antworten »
Super vielen Dank

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