Direkter Beweis gesucht

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01.11.2017, 11:37	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
Direkter Beweis gesucht Beweise: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} \geq \frac{(n-k)^k}{k^k} \end{eqnarray}$ Für alle $\begin{eqnarray} n,k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n \geq k \end{eqnarray}$ _____________________________ Weil $\begin{eqnarray} n \geq k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n,k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ kann ich sagen das: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \end{eqnarray}$ Nur bringt mir das irgendwie nix. Nur wüsst ich sonst nich, wie ich $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ in einem Bruch umwandle, damit ich die beiden Sachen miteinander vergleichen kann.
01.11.2017, 11:38	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, du könntest jetzt erstmal die Definition der Fakultät hinschreiben und geeignet kürzen, dann wirst du schon etwas sehen vermute ich.
01.11.2017, 12:08	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n}{1\cdot2\cdot3 \cdot...\cdot k \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n-k)} = \frac{n}{k! \cdot (n-k)} \end{eqnarray}$ So ?
01.11.2017, 12:25	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, beachte $\begin{eqnarray} \frac{n!}{k! (n-k)!} = \frac{(n-k+1)\cdot (n-k+2)\cdot \dots \cdot (n-1)\cdot n}{k!} \end{eqnarray}$ . Jetzt vergleiche mit dem, was zu zeigen ist.
01.11.2017, 13:19	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe nich ganz wie du $\begin{eqnarray} (n-k)! \end{eqnarray}$ gekürzt hast Wenn ich nun vergleiche: $\begin{eqnarray} \frac{n!}{k! (n-k)!} = \frac{(n-k+1)\cdot (n-k+2)\cdot \dots \cdot (n-1)\cdot n}{k!}\geq \frac{(n-k)^k}{k^k} \end{eqnarray}$ Kann ich herauslesen, das $\begin{eqnarray} k^{k} \geq k! \end{eqnarray}$ Und mehr kann ich mit meinem beschränkten Verstand nich rauslesen. Weiß nich ob das genügt. Also der Teiler wird auf der rechten Seite immer deutlich größer sein, außer bei k=1.
01.11.2017, 14:30	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, der Nenner rechts ist größer als der links, was den Gesamtbruch aber kleiner macht. Fehlt noch eine entsprechende vergleichende Betrachtung der beiden Zähler $\begin{align} (n-k+1)\cdot (n-k+2)\cdot \dots \cdot (n-1)\cdot n \end{align}$ (das ist das Produkt von genau $\begin{align} k \end{align}$ aufsteigend geordneten positiven Zahlen) links sowie $\begin{align} (n-k)^k \end{align}$ rechts - keine Idee dazu?
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01.11.2017, 15:24	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
da n immer größer als k. gilt: $\begin{eqnarray} [(n-k+1) \cdot (n-k+2) ... \cdot (n-1) \cdot n ] \geq (n-k)^k \end{eqnarray}$ Verstehe trotzdem noch nich, wie der Zähler hier so umgeformt wurde, und $\begin{eqnarray} (n-k)! \end{eqnarray}$ verschwunden ist.
01.11.2017, 15:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nennt sich "kürzen".
01.11.2017, 15:32	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
toll, wenn man das schon 100mal gemacht hat, dann sieht man das vielleicht auf den ersten Blick, sonst aber nicht.
01.11.2017, 15:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht verstehst du es an einem konkreten Beispiel besser, etwa $\begin{align} n=10 \end{align}$ und $\begin{align} k=3 \end{align}$ : Bei $\begin{align} n! = 10! = 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot 9\cdot 10 \end{align}$ geteilt durch $\begin{align} (n-k)! = 7! = 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot 6\cdot 7 \end{align}$ bleibt nach Kürzen aller 7 Nennerfaktoren lediglich noch $\begin{align} 8\cdot 9\cdot 10 \end{align}$ übrig. Für beliebige $\begin{align} n,k \end{align}$ rekapituliert ist letzteres dann $\begin{align} (n-k+1)\cdot (n-k+2)\cdot \ldots\cdot (n-1)\cdot n \end{align}$ . Das Produkt beginnt mit der ersten Zahl, die nicht weggekürzt wurde, und das ist die nach $\begin{align} (n-k) \end{align}$ nächstgrößere ganze Zahl, und das ist nun mal $\begin{align} (n-k+1) \end{align}$ . Primitiver kann ich es nun wirklich nicht erklären.

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