Aussage wahr oder nicht

01.11.2017, 14:26

Kathreena

Aussage wahr oder nicht

$\begin{eqnarray*} \left\{ x \in \mathbb R | xy \in \mathbb Q, \forall y \in \mathbb Q \right\} = \mathbb Q \end{eqnarray*}$

____________________________

Also laut der Aussage, müsste immer einer rationalezahl herauskommen, wenn ich eine rationalezahl, mit irgendeiner anderen zahl multipliziere.

Ich weiß ehrlich gesagt nich ob die Aussage wahr is, ich tippe mal auf nicht wahr.
Nur wie finde ich nun einen Widerspruch ? Welche Herangehensweise gibts da? oder einfach herumprobieren?

Wenn x = y, dann sollte ja keine rationalezahl herauskommen dürfen oder ?.

01.11.2017, 14:38

Jefferson1992

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Ich verstehe die Aussage jetzt nicht so ganz.

So wie du es aufgeschrieben hast, steht da, dass $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit der Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ multipliziert mit einem beliebigen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ wieder in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ liegt.

Und eine irrationale Zahl multipliziert mit einer rationalen Zahl ergibt immer eine irrationale Zahl für $\begin{eqnarray*} y \neq 0 \end{eqnarray*}$

Heißt das ganze funktioniert nur, wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auch aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist, was ja durchaus in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ enthalten ist.

Für mich wäre die Aussage also richtig, so wie du sie aufgeschrieben hast.

01.11.2017, 14:39

HAL 9000

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Benennen wir $\begin{align*} A:=\left\{ x \in \mathbb R \mid xy \in \mathbb Q \; \forall y \in \mathbb Q \right\} \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Kathreena
ich tippe mal auf nicht wahr.

In dem Fall kannst du ja sicher eine irrationale Zahl nennen, die in $\begin{align*} A \end{align*}$ liegt oder eine rationale Zahl, die nicht in $\begin{align*} A \end{align*}$ liegt: Ich höre gespannt zu.

01.11.2017, 17:29

Kathreena

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wup, aja es is etwas verwirrend in der Tat, weil zuerst steht das x ein Element der reelen Zahlen ist.

Aber in der ersten Bedingung steht ja, das x * y immer rationalezahl sein muss.
Dann gehts ja garnich anders...

01.11.2017, 18:22

Jefferson1992

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Ja genau.

Du kannst durchaus für x jede reelle Zahl einsetzen. Dadurch das das Produkt aber nach Voraussetzung rational sein soll, muss y = 0 gelten.

Und ansonsten, sobald du keine irrationale Zahl einsetzt, wird es sowieso rational.

Also Aussage sollte stimmen, wie man das jetzt mathematisch hinschreibt ohne viel Text, da überfragst du mich.

Vielleicht hat HAL eine Idee smile

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