Beweis Wohldefiniertheit Funktion Äquivalenzklassen

01.11.2017, 15:42	bRaider99	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Wohldefiniertheit Funktion Äquivalenzklassen Hallo, zur Zeit stehe ich extrem auf dem Schlauch bei einer Aufgabe. Sie lautet: Für jedes $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N_{>0} \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{n} \end{eqnarray}$ die Menge aller Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray} \equiv (mod \ n). \end{eqnarray}$ c) Sei $\begin{eqnarray} f: \mathbb Z_{12} \rightarrow \mathbb Z_{12} \ , \ f([x])=[x]^{2} \end{eqnarray}$ , wobei [x] die Klasse von $\begin{eqnarray} x \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{12} \end{eqnarray}$ bezeichnet. Zeigen Sie, dass f wohldefiniert ist. (...) Jetzt muss ich ja unter anderem zeigen, dass $\begin{eqnarray} \forall [x] \in \mathbb Z_{12}: f([x]) \in \mathbb Z_{12} \end{eqnarray}$ . Aber irgendwie verstehe ich nicht, wie f([x]) in $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{12} \end{eqnarray}$ liegen kann. $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{12} \end{eqnarray}$ ist ja die Menge aller Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation, also $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{12} \end{eqnarray}$ = {[0],[1],[2],...[11]}. Oder sehe ich das falsch? Wie kann dann $\begin{eqnarray} f(x) = [x]^{2} \in \mathbb Z_{12} \end{eqnarray}$ sein? [x] ist doch eine Menge und $\begin{eqnarray} [x]^{2} \end{eqnarray}$ ist doch eigentlich dann eine Menge von "Paaren" dieser Menge, oder? Allerdings sind doch keine Paare in $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{12} \end{eqnarray}$ enthalten? Entschuldigung, falls ich hier etwas auf dem Schlauch stehe. Danke im Voraus. Lg BRaider99
01.11.2017, 18:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht nicht um Paare. Die Funktion wird definiert durch z.B. $\begin{eqnarray} [3]^2:=[3^2]=[9] \end{eqnarray}$ und du sollst zeigen, dass diese Funktion wohldefiniert ist, d.h. du musst zeigen $\begin{eqnarray} [9]=[3^2]=[15^2]=[27^2]=... \end{eqnarray}$ und das für alle ganzen Zahlen als Vertreter der Restklassen.

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