Charakterisierung von Injektivität

01.11.2017, 18:11

ForerunnerMark

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Charakterisierung von Injektivität

Meine Frage:
Wir wollen die folgende Charakterisierung von Injektivität zeigen: Sei $\begin{eqnarray*} f : X \Rightarrow Y \end{eqnarray*}$ einen Abbildung. Dann gilt

f Injektiv $\begin{eqnarray*} \Leftarrow\Rightarrow A= f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ für all $\begin{eqnarray*} A \subseteq X \end{eqnarray*}$ .

Wir zeigen die Äquivalenz, indem wir sie in zwei Implikationen zerlegen: die Hinrichtung und die Rückrichtung.

(1) Zeigen Sie die Hinrichtung. Hierbei müssen Sie die Gleichheit der beiden Mengen A und $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ zeigen. Zeigen Sie beide Inklusionen $\begin{eqnarray*} \subseteq , \supseteq \end{eqnarray*}$ getrennt.

(2) Zeigen Sie die Rückrichtung. Hierfür bietet es sich an die Kontraposition der Implikation zu zeigen. (Wie sieht diese aus?)

Meine Ideen:

Also hallo erstmal und danke, dass ihr euch die Zeit nehmt mir weiter zu helfen.
Das hier ist meine erste Frage also hoffe ich, ich habe das einigermaßen gut mit der Darstellung hinbekommen.

(1) Also, ich habe damit begonnen, dass Aufgrund von $\begin{eqnarray*} A \subseteq X \end{eqnarray*}$ sowie der Injektivität von f gilt, dass $\begin{eqnarray*} X = f^{-1}(Y), f(A) \subseteq f(X) \Rightarrow f(A) \subseteq Y \end{eqnarray*}$ .

Ebenso folgt aus $\begin{eqnarray*} X =f^{-1}(Y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(A) \subseteq y, f^{-1} (f(A)) \subseteq X \end{eqnarray*}$ . (Kann man das direkt so schließen?)

Nehmen wir nun $\begin{eqnarray*} A \subseteq X = f^{-1}(Y) \supseteq f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ folgt daraus
$\begin{eqnarray*} A \subseteq X \supseteq f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$

Kann man daraus jetzt schon schließen, dass $\begin{eqnarray*} A \subseteq f^{-1}(f(A)) , A \supseteq f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$
und somit $\begin{eqnarray*} A = f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ ?

bzw. wenn nicht, bin ich auf dem richtigen weg oder gehe ich das ganze komplett falsch an?

(2) Für 2 wäre die Vorgeschlagene Kontraposition
f ¬Injektiv $\begin{eqnarray*} \Leftarrow A \neq f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ für all $\begin{eqnarray*} A \subseteq X \end{eqnarray*}$ .

hier bin ich mir noch recht unsicher, besonders, weil ich nicht weiß ob mein weg bei (1) richtig ist. Also warte ich erstmal ab was ihr so zur (1) sagt und dann schau ich mir nochmal die (2) an.

Danke schonmal im vorraus smile

smile

02.11.2017, 00:46

10001000Nick1

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RE: Charaktarisierung von Injektivität

Zitat:

Original von ForerunnerMark
Kann man daraus jetzt schon schließen, dass $\begin{eqnarray*} A \subseteq f^{-1}(f(A)) , A \supseteq f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$
und somit $\begin{eqnarray*} A = f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ ?

Nein; du hast nur gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ beides Teilmengen derselben Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sind (was ziemlich offensichtlich der Fall ist). Deswegen müssen die beiden aber noch längst nicht gleich sein.

Nimm an, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist injektiv.
Jetzt wollen wir zuerst zeigen, dass für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} A\subseteq X \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} A\subseteq f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ . D.h. wir nehmen ein $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ und zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ gelten muss. (Für diesen Teil brauchst du noch keine Injektivität; das gilt auch, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht injektiv ist.)
Als nächstes zeigen wir die umgekehrte Richtung: Sei $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ . Warum folgt daraus $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist?

02.11.2017, 08:42

ForeRunner

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...Daraus folgt aufgrund der Injektivität von f, dass $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ sein muss, weil jedes Element der Zielmenge, wenn es getroffen wird, eindeutig getroffen wird. somit gilt
$\begin{eqnarray*} A\subseteq f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A\supseteq f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ und daraus folgt $\begin{eqnarray*} A = f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ .

Vielen dank schon mal für die Hilfe. Stimmt das jetzt so, bzw. ist die (1) damit Vollständig?Ich setze mich direkt mal an die (2) und melde mich dann mit dem entsprechenden Lösungsansatz. Aber vielen dank auf jeden Fall schon mal smile

smile

02.11.2017, 09:36

ForeRunner

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Also jetzt habe ich auch eine Lösung zu (2). (glaube ich smile

smile

)
Ich schreibe hier jetzt noch einmal die komplette Lösung für die ganze Aufgabe rein. Vielleicht könnt ihr mir ja sagen ob die Formulierung und die komplette Aufgabe stimmen.

zu (1)

Zuerst zeigen wir die Hinrichtung $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Injektiv $\begin{eqnarray*} \Rightarrow A = f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$

Angenommen f ist Injektiv, zeigen wir zuerst für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} A \subseteq X \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} A \subseteq f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ gilt.
Dafür nehmen wir ein $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ und schon ohne Injektivität muss gelten
$\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ .

Als nächstes zeigen wir, dass $\begin{eqnarray*} A \supseteq X \end{eqnarray*}$ ,
sei $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ , dann folgt aufgrund der Injektivität, dass $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ sein muss,
weil jedes Element der Zielmenge, wenn es getroffen wird, eindeutig getroffen wird.
Somit gilt $\begin{eqnarray*} A \subseteq f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \supseteq f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ woraus folgt $\begin{eqnarray*} A = f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$

zu (2)

Als nächstes zeigen wir die Rückrichtung $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Injektiv $\begin{eqnarray*} \Leftarrow A = f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$
via Kontraposition. Also:
$\begin{eqnarray*} f \lnot \end{eqnarray*}$ Injektiv $\begin{eqnarray*} \Rightarrow A \neq f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$

Wie in (1) nehmen wir $\begin{eqnarray*} x \ in A \end{eqnarray*}$ für das $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ gelten muss.
Das gilt auch ohne Injektivität. Also $\begin{eqnarray*} A \subseteq f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ jedoch nicht Injektiv, gilt die Rückrichtung $\begin{eqnarray*} A \supseteq f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ nicht,
da nicht jedes Element der Zielmenge eindeutig getroffen werden muss und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ somit Injektiv wäre.
Da aus $\begin{eqnarray*} f \lnot \end{eqnarray*}$ Injektiv, $\begin{eqnarray*} A \neq f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ folgt,
folgt daraus $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Injektiv $\begin{eqnarray*} \Leftarrow A = f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$

Somit sind beide Richtungen gezeigt.

Hier noch kurz die frage ob ich bei zwei die beiden Teilmengen richtig rum geschrieben habe oder ob ich die vertauscht habe.

Grüße und danke schon mal im Voraus smile

smile

02.11.2017, 11:46

10001000Nick1

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Du hast eigentlich überall nur die Behauptungen hingeschrieben, aber nicht, warum das gelten sollte. Das reicht natürlich nicht als Beweis.

Zitat:

Original von ForeRunner
Angenommen f ist Injektiv, zeigen wir zuerst für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} A \subseteq X \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} A \subseteq f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ gilt.
Dafür nehmen wir ein $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ und schon ohne Injektivität muss gelten
$\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ .

Das könnte man z.B. so machen:
$\begin{eqnarray*} x\in A \Rightarrow f(x)\in \left\{f(a)\in Y\mid a\in A\right\}=f(A) \Rightarrow x\in \left\{a\in A\mid f(a)\in f(A)\right\}=f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$

Hast du jetzt eine Idee, wie du die andere Inklusion zeigen kannst?

Außerdem hast du bei 2) die Umkehrung der Implikation falsch gebildet.

Zitat:

Original von ForerunnerMark
(2) Für 2 wäre die Vorgeschlagene Kontraposition
f ¬Injektiv $\begin{eqnarray*} \Leftarrow A \neq f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ für all $\begin{eqnarray*} A \subseteq X \end{eqnarray*}$ .

Die Negation von "Für alle $\begin{eqnarray*} A\subseteq X \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} A= f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ " ist "Es existiert ein $\begin{eqnarray*} A\subseteq X \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} A\neq f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ ". (Dein Vorschlag kann schon allein deshalb nicht funktionieren, weil es auch Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gibt, für die Gleichheit gilt.)

Du nimmst also an, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht injektiv ist (d.h. es gibt $\begin{eqnarray*} x,y\in X, x\neq y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ ), und zeigst, dass es ein $\begin{eqnarray*} A\subseteq X \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} A\neq f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ . Ein solches $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ kannst du konkret angeben.

02.11.2017, 16:21

ForeRunner

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Danke für die schnelle Antwort!
Also für die andere Inklusion müsste man das doch ähnlich machen können oder?

$\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(f(A)) \Rightarrow f(x) \in f(f^{-1}(f(A))) \Rightarrow f(x) \in f(A) \Rightarrow x \in A \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

und bei der (2) verstehe ich was du meinst warum die Negation falsch ist.
Aber kannst du mir vielleicht erläutern wie ich A wählen kann ohne die Funktion zu kennen? Das einzige was ich über f weiß ist ja, dass sie nicht Injektiv sein soll.

Vielen Dank aber auf jeden Fall. Du hast mir schon sehr geholfen Hammer

Hammer

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02.11.2017, 19:34

10001000Nick1

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Zitat:

Original von ForeRunner
$\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(f(A)) \Rightarrow f(x) \in f(f^{-1}(f(A))) \Rightarrow f(x) \in f(A) \Rightarrow x \in A \end{eqnarray*}$

Den Teil nach dem ersten Implikationspfeil würde ich weglassen; $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(f(A)) \Rightarrow f(x) \in f(A) \end{eqnarray*}$ folgt direkt aus der Definition des Urbilds einer Menge.
Das, was du danach hinschreibst, aber nicht begründest, ist der Teil, in dem man wirklich etwas zeigen muss. Warum folgt aus $\begin{eqnarray*} f(x)\in f(A) \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ ?

Zu der Rückrichtung:
Wie oben schon geschrieben, gibt es $\begin{eqnarray*} x,y\in X, x\neq y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht injektiv ist. Schau dir mal an, was passiert, wenn du $\begin{eqnarray*} A=\{x\} \end{eqnarray*}$ wählst.

Und bitte keine Komplettzitate, wenn meine Antwort direkt darüber steht. Ich habe das mal entfernt. smile

smile

02.11.2017, 21:57

ForeRunner

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Beim nächsten mal achte ich darauf Zitate gezielter zu nutzen smile

smile

(hier habe ich noch einen zwischenschritt dazu gebastelt)

$\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(f(A)) \Rightarrow f(x) \in f(A) \Rightarrow f^{-1}(f(x)) \in f^{-1}(f(A)) \Rightarrow x \in A \end{eqnarray*}$

Diese Schlussfolgerung ist möglich, weil aufgrund der Injektivität, das Urbild des Bildes immer eindeutig ist.

stimmt das?

zu (2)

(hier habe ich die Kontraposition der Rückrichtung umformuliert)

$\begin{eqnarray*} \exists x,y \in X: x \neq y, f(x) = f(y) \Rightarrow \exists A \subseteq X mit A \neq f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$

wählen wir nun für A
$\begin{eqnarray*} A = {x} \end{eqnarray*}$

so steht:

$\begin{eqnarray*} \exists x,y \in X: x \neq y, f(x) = f(y) \Rightarrow x \neq f^{-1}(f(x)) \end{eqnarray*}$

So weit bin ich jetzt gekommen. ich habe noch das hier raus:
$\begin{eqnarray*} x \neq y , f(x) = f(y) \Rightarrow f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(f(y)) \end{eqnarray*}$

ich weiß damit nur nichts anzufangen, falls das überhaupt zielführend ist.

Sorry falls ich mich ein bisschen dämlich anstelle Tanzen

Tanzen

03.11.2017, 16:05

10001000Nick1

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Zitat:

Original von ForeRunner
Diese Schlussfolgerung ist möglich, weil aufgrund der Injektivität, das Urbild des Bildes immer eindeutig ist.

Ja; so ein ähnliches Argument muss irgendwo in deinem Beweis auftauchen. Nur der Aufschrieb ist noch nicht ganz sauber: Urbilder gibt es nur von Mengen. Was soll dann $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(x)) \end{eqnarray*}$ bedeuten? (Die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ muss nicht existieren, weil $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht bijektiv zu sein braucht.)

Ich würde es so machen: Wenn $\begin{eqnarray*} f(x)\in f(A)=\{f(a)\mid a\in A\} \end{eqnarray*}$ ist, muss es ein $\begin{eqnarray*} y\in A \end{eqnarray*}$ geben mit $\begin{eqnarray*} f(y)=f(x) \end{eqnarray*}$ . Nun folgt aber aus der Injektivität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ ist, also $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ .

Für die Rückrichtung, "rechnen" wir $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(\{x\})) \end{eqnarray*}$ mal schrittweise aus: Zunächst ist $\begin{eqnarray*} f(\{x\})=\{f(x)\} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(\{x\})) \end{eqnarray*}$ ist das Urbild davon, also alle Elemente, die auf $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ abgebildet werden. Was weißt du über dieses Urbild?

03.11.2017, 18:16

ForeRunner

Auf diesen Beitrag antworten »

zu (1)

Ah super danke da ist sehr einleuchtend. smile

smile

ich habe heute abend leider keine Zeit mehr, aber morgen früh setzte ich mich direkt mal dran das alles zusammen zu schreiben. Danke sehr.

zu (2)

Kannst du mir vielleicht erklären was du bei der Rückrichtung machst, bzw. wie da darauf gekommen bist? das Urbild müsste demnach {x} sein oder sehe ich das falsch?
und was fange ich mit dieser Information an?

04.11.2017, 14:37

ForeRunner

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Also hier noch einmal die (1) zusammengefasst:

Zuerst zeigen wir die Hinrichtung .

$\begin{eqnarray*} f Injektiv \Rightarrow \forall A \subseteq X: A = f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$

zuerst zeigen wie eine Inklusion $\begin{eqnarray*} A \subseteq f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \in A \Rightarrow f(x) \in \{f(a) \in Y | a \in A\} = f(A) \Rightarrow x \in \{a\in A | f(a) \in f(A)\} = f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$

nun zeigen wir die andere Inklusion $\begin{eqnarray*} A \supseteq f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$

Direkt aus der Definition des Urbildes folgt: $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(f(A)) \Rightarrow f(x) \in f(A) \end{eqnarray*}$

wenn $\begin{eqnarray*} f(x) \in f(A) = \{f(a) | a \in A\} \end{eqnarray*}$ ist, muss es ein $\begin{eqnarray*} y \in A \end{eqnarray*}$ geben
mit $\begin{eqnarray*} f(y) = f(x) \end{eqnarray*}$ nun folgt aus der Injektivität von f, dass $\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$ sein muss, also gilt $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$

Aus den beiden Inklusionen $\begin{eqnarray*} A \subseteq f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \supseteq f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} A = f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$

und somit gilt, dass aus f Injektiv folgen muss, dass $\begin{eqnarray*} \forall A \subseteq X: A = f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$

gibt es hier noch etwas was ich ausführlicher beschreiben muss?

05.11.2017, 11:49

10001000Nick1

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Der Beweis der Hinrichtung ist ok.

Zitat:

Original von ForeRunner
das Urbild müsste demnach {x} sein oder sehe ich das falsch?

$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist zwar in $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(\{x\})) \end{eqnarray*}$ enthalten, aber eben nicht das einzige Element. Schau nochmal oben:

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Du nimmst also an, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht injektiv ist (d.h. es gibt $\begin{eqnarray*} x,y\in X, x\neq y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ )

Welches Element könnte jetzt noch in $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(\{x\})) \end{eqnarray*}$ enthalten sein? (Allzu viele Möglichkeiten gibt es ja jetzt nicht mehr. Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

06.11.2017, 12:56

ForeRunner

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Ah ja jetzt wo du das so sagst ist das natürlich klar Big Laugh

Big Laugh

Aus der Gleichheit von $\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) \end{eqnarray*}$ folgt natürlich, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(x)) \end{eqnarray*}$
Zwei Lösungen haben muss. Nämlich x und y.

Benutzt du deswegen $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(\{x\})) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(x)) \end{eqnarray*}$ ?

Um dann am ende sagen zu können, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(\{x\})) = \{x,y\} \end{eqnarray*}$ ?
So habe ich die (2) jetzt mal formuliert:

(2)
Wie zeigen die Rückrichtung durch Kontraposition.
Daher: $\begin{eqnarray*} f \neg \end{eqnarray*}$ Injektiv $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists A \subseteq X: A \neq f^{-1}(f(a)) \end{eqnarray*}$

Das zeigen wir dadurch, dass es weil f nicht Injektiv ein $\begin{eqnarray*} x,y \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \neq y , f(x) = f(y) \end{eqnarray*}$ geben muss.

Wir rechnen $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(\{x\})) \end{eqnarray*}$ , was der Menge aller Elemente die auf f(x) abbilden entspricht.
Es gilt: $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(\{x\})) = f^{-1}(\{f(x)\}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x) = f(y), x \neq y \end{eqnarray*}$

Daher erhalten wir $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(\{x\})) = \{x, y\} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass wenn f nicht Injektiv ist, es ein $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ geben muss, für das gilt, $\begin{eqnarray*} x \neq f^{-1}(f(x)) \end{eqnarray*}$

Die Aussage: $\begin{eqnarray*} f \neg \end{eqnarray*}$ Injektiv $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists A \subseteq X: A \neq f^{-1}(f(a)) \end{eqnarray*}$ stimmt.

Aus den beiden Richtungen aus (1) und (2) ergibt sich eine Äquivalenz der beiden Aussagen und somit ist die Ursprüngliche Aussage gezeigt.

Kann man das so stehen lassen?
und danke nochmal für die Hilfe, alleine hätte ich das glaube ich nicht hinbekommen smile

smile

06.11.2017, 14:38

10001000Nick1

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Fast richtig, eine Kleinigkeit nur noch:

Zitat:

Original von ForeRunner
Daher erhalten wir $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(\{x\})) = \{x, y\} \end{eqnarray*}$

Gleichheit der beiden Mengen hast du nicht gezeigt; es könnte ja vielleicht auch noch ein drittes Element $\begin{eqnarray*} z\in X \end{eqnarray*}$ geben mit $\begin{eqnarray*} f(z)=f(x) \end{eqnarray*}$ .
Wir wissen nur, dass $\begin{eqnarray*} \{x,y\}\subseteq f^{-1}(f(\{x\})) \end{eqnarray*}$ . Und das reicht ja auch schon, um $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(\{x\}))\neq \{x\} \end{eqnarray*}$ zu folgern.

Zitat:

Original von ForeRunner
Benutzt du deswegen $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(\{x\})) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(x)) \end{eqnarray*}$ ?

Ganz allgemein: $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ hat zwei Bedeutungen:

1.) Als Abbildung $\begin{eqnarray*} f^{-1}: \mathcal P(Y)\to \mathcal P(X) \end{eqnarray*}$ , die jeder Teilmenge von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ihr Urbild zuordnet.
( $\begin{eqnarray*} \mathcal P(X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal P(Y) \end{eqnarray*}$ sind die Potenzmengen von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ).

2.) Falls $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bijektiv ist (und nur dann): Als Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Unser $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hier ist nicht bijektiv. Deswegen kann nur die erste Bedeutung gemeint sein. Und das heißt, dass man in $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ nur Mengen "einsetzen" darf und dann deren Urbild erhält.

06.11.2017, 14:43

ForeRunner

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Ah ja klar das macht Sinn!

Vielen lieben dank nochmal für deine Hilfe. smile

smile

06.11.2017, 15:07

10001000Nick1

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Falls du noch Lust hast (oder noch ein bisschen üben willst), kannst du ja noch eine ähnliche Aussage für Surjektivität beweisen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist genau dann surjektiv, wenn für alle $\begin{eqnarray*} B\subseteq Y \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(B))=B \end{eqnarray*}$ .

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