Definition von Konvergenz

01.11.2017, 19:42

konv

Definition von Konvergenz

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb N : |a_n - a| < \epsilon \forall n > n_0 Kann man die Gleichung, wenn n=n_0 weglassen? Wenn ja, was wäre ein guter Beweis das zu zeigen? \end{eqnarray*}$

01.11.2017, 19:46

tatmas

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Definition von Konvergenz

Zitat:

Original von konv
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb N : |a_n - a| < \epsilon \forall n > n_0 \end{eqnarray*}$

Kann man die Gleichung, wenn n=n_0 weglassen? Wenn ja, was wäre ein guter Beweis das zu zeigen?

Welche Gleichung, da ist nirgends eine Gleichung.
Und weswegen möchtest du das tun?
Mehr Kontext wäre sehr hilfreich.

01.11.2017, 19:47

sibelius84

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Definition von Konvergenz

Zitat:

Original von konv
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb N : |a_n - a| < \epsilon \forall n > n_0 \end{eqnarray*}$
Kann man die Gleichung, wenn n=n_0 weglassen? Wenn ja, was wäre ein guter Beweis das zu zeigen?

Wie wär's mit $\begin{eqnarray*} n_1:=n_0+1 \end{eqnarray*}$ ? smile

01.11.2017, 19:48

konv

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja du hast recht. "Gleichung" war das falsche Wort.

Ich meinte, kann man trotzdem Konvergenz zeigen, ohne den Fall "n=n_0"

Und danke für die Hilfe mit Latex...wieso hat das eigentlich nicht geklappt?

01.11.2017, 19:54

sibelius84

Auf diesen Beitrag antworten »

Weil du nach den Mathe-Formeln einfach den Text ins Latex-Feld weitergetippt hast. Der Text wäre (ohne Leerzeichen) noch angezeigt worden, aber der Unterstrich _ ist ein Operator und spätestens der hat ihn ausgeknockt, oder möglicherweise das Fragezeichen...?

Zu deiner Frage verweise ich auf meinen vorigen Post. Ein Äquivalenzbeweis ist ein Zweizeiler (eine Zeile pro Richtung) mit $\begin{eqnarray*} n_1:=n_0+1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} n_1:=n_0-1 \end{eqnarray*}$ , mit evtl noch etwas mühsamen Fallunterscheidungen.

Grüße
sibelius84

01.11.2017, 19:58

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sibelius84
Weil du nach den Mathe-Formeln einfach den Text ins Latex-Feld weitergetippt hast. Der Text wäre (ohne Leerzeichen) noch angezeigt worden, aber der Unterstrich _ ist ein Operator und spätestens der hat ihn ausgeknockt, oder möglicherweise das Fragezeichen...?

Das LaTeX hier mag keine Umlaute. Das ä in "wäre" sorgt für den Ausfall.

01.11.2017, 20:00

sibelius84

Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt - jetzt haben wir's präzise smile

01.11.2017, 20:09

konv

Auf diesen Beitrag antworten »

ah ja ich glaube es war das Fragezeichen.

Und ja, jetzt ist das klar. Danke schön.

Wäre das hier auch äquivalent zur Definition der Konvergenz?

$\begin{eqnarray*} \exists c > 0 \forall \epsilon > 0 \exists n_0\in \mathbb N: |a_n - a | < ce. Sei \widetilde{\epsilon} :=ce \Rightarrow |a_n - a | < \widetilde{\epsilon}. \end{eqnarray*}$

01.11.2017, 20:42

sibelius84

Auf diesen Beitrag antworten »

So siehts aus. Ich denke sogar, es gilt:

Sei $\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb{R}_0^+\longrightarrow\mathbb{R}_0^+ \end{eqnarray*}$ stetig und streng monoton wachsend mit f(0) = 0. Dann ist Konvergenz der Folge (a_n) gegen a äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} \forall\varepsilon>0 \quad \exists n_0\in\mathbb{N} \quad \forall n\geq n_0: \lvert a_n-a \rvert < f(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht kann man das noch weiter verallgemeinern? Teufel

01.11.2017, 22:33

konv

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm das ist interessant ich mag die Idee. Danke smile

Neue Frage »

Antworten »

Definition von Konvergenz

Verwandte Themen