verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung

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SimonMathe1 Auf diesen Beitrag antworten »
verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung
Hallo, es geht um folgendes:

Seien x_k, k = 1, . . . , n, reelle Zahlen, die entweder alle im Intervall (-1,0) liegen oder
alle positiv sind. Dann gilt die verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung


Der Beweis geht mit vollständiger Induktion. Jedoch irritiert mich das Intervall (-1,0). Was muss ich beachten. Für positive x_k ist das ja klar.
zinR Auf diesen Beitrag antworten »
RE: verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung
Hi.

Wie weit kommst du denn im Induktionsschritt?

Seien .
Es ist mit der Induktionsvoraussetzung .

Es genügt nun zu begründen. Siehst du, warum das gilt?
SimonMathe1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung
.
Ich habe dann ausmultipliziert also:

.
Dann kann man den 2. Summanden wie folgt abschätzen, weil x_k positiv sind. zu begründen.
Trotzdem versteh ich nicht, das (-1,0)?
zinR Auf diesen Beitrag antworten »
RE: verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung
Wie oben geschrieben, betrachten wir jetzt nur den Fall, dass alle im Intervall liegen.

Multipliziere nicht aus, das ist in beiden Fällen eigentlich nicht nötig. (Deine Lösung ist natürlich trotzdem richtig. Im Fall sieht man aber leichter, dass der Induktionsschritt noch funktioniert, wenn man es nicht ausmultipliziert.)

Versuche zu beweisen, dass auch gilt, wenn alle im Intervall liegen.

Wenn du das bewiesen hast, ist dein Induktionsschritt beendet, da folgt.

Edit: Wie oben, habe ich mich auch hier vertippt. Gemeint ist natürlich das Intervall
SimonMathe1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung
Die x_k sind im Intervall (0,1) positiv also auch die Summe und das Produkt. Warum nimmst du nicht (-1,0) als Intervall verwirrt
SimonMathe1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung
Jetzt habe ich deinen Edit gesehen. Die erste Klammer ist in dem Intervall positiv also gilt die Abschätzung?
 
 
zinR Auf diesen Beitrag antworten »
RE: verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung
Es reicht nicht, dass .

Es ist wichtig zu bemerken, dass .

Auch darf nicht beliebig groß werden. Warum nicht?



Sorry für die vielen Tippfehler vorhin. Das hat wohl für viel Verwirrung gesorgt. unglücklich
SimonMathe1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung
Ich weis leider nicht warum das 1+x_n+1nicht beliebig groß werden darf verwirrt
zinR Auf diesen Beitrag antworten »
RE: verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung
Wir haben bereits bemerkt, dass . Wäre nun , dann wäre . "Multipliziere eine negative Zahl mit einer Zahl > 1; dann ist dein Ergebnis immer kleiner als die negative Zahl, mit der du begonnen hast;" um es mal anschaulich zu formulieren.

Vielleicht wird es anschaulicher, wenn du beispielhaft setzt. (Wir tun also so, als wäre es erlaubt, dass .)
Naja, es ist , ok?

Ich finde, dass es dieses Beispiel ein bisschen komplizierter macht, als es eigentlich ist. (Zumal ich nicht einmal garantieren kann, dass ich mich nicht verrechnet habe. Sorry dafür.) Ganz allgemein gilt für , dass , wie ich oben schon andeuten wollte.

Wir brauchen also . An dieser Stelle dürfte sogar beliebig klein werden. Wäre es negativ, so gälte immer noch . (Schließlich wäre dann die linke Seite sogar positiv...)

Fällt dir auf, an welcher Stelle im Beweis wir stattdessen verwendet haben?

Edit: Wenn es immer noch unklar ist, hilft vielleicht das Argument, das aus der Schule bekannt sein sollte: Seien . Dann gilt . (Bei der Division durch eine negative Zahl, dreht sich das Ungleichheitszeichen um. So. Das sollte jetzt ausführlich genug sein.)
SimonMathe1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung
Vielen lieben Dank für deine ausführliche Erklärung. Das habe ich perfekt verstanden smile Freude Freude Freude Freude
Zu deiner letzten Frage;
Meinst du die Stelle an der wir dann die Induktionsvorausetzung eingesetzt haben?
zinR Auf diesen Beitrag antworten »
RE: verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung
Genau! Freude

Freut mich, dass es jetzt klar ist. Ich hatte schon Bedenken, dass mein Durcheinander an Begründungen und Beispielen für mehr Unklarheiten sorgt. Big Laugh
SimonMathe1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung
Danke für alles. Jetzt ist alles klar Wink Freude Freude Freude
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