Bernoulische DGL

01.11.2017, 21:40

tester2

Bernoulische DGL

Bestimmen Sie fur x ungleich 0 alle Losungen der Differentialgleichungen

6xy´= 3y+x^2y^4

Hat jemand tipps wie ich hier vorgehen muss?

01.11.2017, 22:49

zweiundvierzig

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Für Bernoulli-Gleichungen gibt es eine Standardsubstitution, die zu einer linearen Gleichung führt. Ist dir diese bekannt?

02.11.2017, 01:48

tester2

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Leider nicht .
Kannst du mir das kurz erklären ?

02.11.2017, 09:51

HAL 9000

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Siehe Wiki:

Die Bernoullische DGL $\begin{align*} y'=f(x)y(x)+g(x)y^{\alpha} \end{align*}$ kann durch Transformation $\begin{align*} z:=y^{1-\alpha} \end{align*}$ "geknackt" werden.

Im vorliegenden Fall haben wir $\begin{align*} y' = \frac{1}{2x}y + \frac{x}{6}y^4 \end{align*}$ , d.h., $\begin{align*} f(x)=\frac{1}{2x},g(x)=\frac{x}{6},\alpha=4 \end{align*}$ . Dann mal frisch ans Werk mit Substitution $\begin{align*} z:=y^{-3}=\frac{1}{y^3} \end{align*}$ !

02.11.2017, 10:24

tester2

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Kannst du das nicht ein wenig erklären ?

Nur anhand dieser Formeln zu verstehen , fällt mir schwer Big Laugh

02.11.2017, 11:00

HAL 9000

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Das war jetzt hier nicht so gedacht, dass du dich auf die faule Haut legst und ich dir alles vorrechne: Du sollst als nächstes $\begin{align*} z=y^{-3} \end{align*}$ substituieren. Das bedeutet umgestellt $\begin{align*} y = z^{-\frac{1}{3}} \end{align*}$ , das ergibt laut Kettenregel die Ableitung $\begin{align*} y' = -\frac{1}{3} z^{-\frac{4}{3}} z' \end{align*}$ . Beide Formeln $\begin{align*} y \end{align*}$ und $\begin{align*} y' \end{align*}$ setze dann in deine DGL ein, und schau, was nach Vereinfachung dabei rauskommt!

02.11.2017, 12:49

tester2

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y=z^{-1/3}

Wie kommst du auf diesen Exponenten ?

02.11.2017, 12:55

HAL 9000

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Das $\begin{align*} y^4 \end{align*}$ in deiner DGL bedeutet $\begin{align*} \alpha=4 \end{align*}$ im Kontext der Bernoulli-DGL.

Die empfohlene Substitution lautet $\begin{align*} z=y^{1-\alpha} \end{align*}$ , das wäre dann hier $\begin{align*} z=y^{-3} \end{align*}$ .

Umgestellt nach $\begin{align*} y \end{align*}$ bedeutet das $\begin{align*} y=z^{-\frac{1}{3}} \end{align*}$ .

04.11.2017, 10:26

tester2

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6xy´= 3y+x^2y^4

6*x*-1/3*z^{-4/3}*z`= 3*z{-1/3}+x^2*y^4

Wie muss ich jetzt weiter vorgehen Leute ?

04.11.2017, 10:34

HAL 9000

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Anscheinend bist auch du einer der vielen, die Substitutionen unvollständig ausführen:

Jedes (!) $\begin{align*} y \end{align*}$ muss durch $\begin{align*} z^{-\frac{1}{3}} \end{align*}$ ersetzt werden, also auch das $\begin{align*} y \end{align*}$ in $\begin{align*} y^4 \end{align*}$ . unglücklich

04.11.2017, 10:36

sibelius84

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...und dann erkennt man eine Gemeinsamkeit auf der linken und auf der rechten Seite, so dass sich eine bestimmte Umformung der Gleichung förmlich aufdrängt - und wie von Zauberhand gelingt es durch diese Umformung denn auch, eine äquivalente lineare (inhomogene) DGL 1. Ordnung zu erhalten, die man mit der bekannten Lösungsformel leicht lösen kann. Engel

04.11.2017, 10:57

tester2

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$\begin{eqnarray*} 6*x*z{-1/3}*z^{-4/3}*z`= 3*z{-1/3}+x^2*z{-1/3}{4} \end{eqnarray*}$

Soll ich die Gleichung nach z auflösen?

04.11.2017, 11:01

sibelius84

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Zitat:

Original von tester2
$\begin{eqnarray*} 6*x*z{-1/3}*z^{-4/3}*z`= 3*z{-1/3}+x^2*\pmb{z{-1/3}{4}} \end{eqnarray*}$

Soll ich die Gleichung nach z auflösen?

Du hast da gerade ziemlichen Quatsch stehen. Durch die Quote-Funktion merke ich, dass du es richtig meintest. Das Auge rechnet mit! Wenn du das noch richtig stellst, wird dir auf der rechten Seite (hoffentlich) die Möglichkeit einer offensichtlichen Umformung ins Auge stechen.

04.11.2017, 11:43

tester2

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z^{-1/3} auf der rechten Seite ausklammern ?

04.11.2017, 12:08

sibelius84

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Ausklammern bezeichnet z.B. folgenden Vorgang (von links nach rechts gelesen):

$\begin{eqnarray*} 3a+6b = 3(a+2b). \end{eqnarray*}$

Insofern: Nein.

Nun macht sich aber in den letzten Jahren - leider sogar unter Studierenden der Mathematik - die beängstigende, scheußlich falsche und sinnentstellende Tendenz breit, "ausklammern" als Synonym zu benutzen für "ausmultiplizieren" oder "Klammer auflösen" (das wäre der obige Vorgang, von rechts nach links gelesen). Evtl. meinst du, bei $\begin{eqnarray*} (z^{-\frac{1}{3}})^4 \end{eqnarray*}$ die Klammer aufzulösen.

Dann wäre die Antwort: Ja.

05.11.2017, 12:47

tester2

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Ich glaube ,ich gehe mal Schritt für Schritt vor .
Hab es jetzt ausmultipliziert .

Was muss ich jetzt machen ?

$\begin{eqnarray*} 6*x*z^{-\frac{1}{3} }*z^{-\frac{4}{3} }*z` =3*z^{-\frac{1}{3}}+x^2*z^{-\frac{4}{3} } \end{eqnarray*}$

05.11.2017, 14:58

HAL 9000

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Wenn du den falschen Faktor $\begin{align*} z^{-\frac{1}{3}} \end{align*}$ links, den du schon die ganze Zeit durch die Rechnung schleppst, durch den richtigen Faktor $\begin{align*} \left(-\frac{1}{3}\right) \end{align*}$ ersetzt, dann kommen wir einen winzigen Schritt weiter. Einen Schritt, den ich eigentlich schon vor drei Tagen erwartet hatte.

05.11.2017, 15:06

tester2

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Wieso steht auf der linken Seite eine -1/3 ?

Das verstehe ich nicht

05.11.2017, 15:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
Du sollst als nächstes $\begin{align*} z=y^{-3} \end{align*}$ substituieren. Das bedeutet umgestellt $\begin{align*} y = z^{-\frac{1}{3}} \end{align*}$ , das ergibt laut Kettenregel die Ableitung $\begin{align*} y' = {\color{red}-\frac{1}{3}} z^{-\frac{4}{3}} z' \end{align*}$ . Beide Formeln $\begin{align*} y \end{align*}$ und $\begin{align*} y' \end{align*}$ setze dann in deine DGL ein, und schau, was nach Vereinfachung dabei rauskommt!

05.11.2017, 15:36

tester2

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Wieso lässt man aber den rechten Teil komplett weg ? verwirrt

05.11.2017, 15:42

HAL 9000

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Manchmal habe ich den Eindruck, du willst uns mit deinen Anmerkungen bar jeder Vernunft zur Weißglut treiben. Niemand lässt hier die rechte Seite weg. unglücklich

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Seit drei Tagen geht es um die simple Problem, $\begin{align*} y = z^{-\frac{1}{3}} \end{align*}$ sowie $\begin{align*} y' = -\frac{1}{3} z^{-\frac{4}{3}} z' \end{align*}$ in $\begin{align*} 6xy' = 3y+x^2y^4 \end{align*}$ einzusetzen, aber aus irgendeinem mir unbekannten Grunde tust du das nicht:

$\begin{align*} 6x\cdot \left( -\frac{1}{3}\right) z^{-\frac{4}{3}} z' = 3z^{-\frac{1}{3}}+x^2z^{-\frac{4}{3}} \end{align*}$ .

Multipliziert mit $\begin{align*} z^{\frac{4}{3}} \end{align*}$ wird deutlich, warum man das macht:

$\begin{align*} -2x z' = 3z+x^2 \end{align*}$ ,

Denn auf diese DGL trifft das hier zu

Zitat:

Original von sibelius84
und wie von Zauberhand gelingt es durch diese Umformung denn auch, eine äquivalente lineare (inhomogene) DGL 1. Ordnung zu erhalten, die man mit der bekannten Lösungsformel leicht lösen kann. Engel

Aber dorthin werden wir bei deinem Tempo wohl nie kommen.

05.11.2017, 15:55

tester2

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Ich denke mal das ich bei der nächsten Aufgabe dann das Wissen hoffentlich anwenden kann .

Was mache ich jetzt mit der erhaltenen DGl ?

05.11.2017, 16:17

HAL 9000

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Ich hoffe, ein anderer Helfer (z.B. sibelius84) springt ein, meine Geduld ist nach dem unsägllichen

Zitat:

Original von tester2
Wieso lässt man aber den rechten Teil komplett weg ?

am Ende.

05.11.2017, 16:23

Tester2

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Ja leider haben die uns in der Vorlesung nichts erklärt .
Daher versuche ich es an einem Beispiel die Vorgehensweise zu lernen .
Wie müsste den der nächste Schritt in etwa aussehen ?

Viel mehr kann es ja net sein

05.11.2017, 17:46

tester2

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Sol ich jetzt hier Trennung der Variablen machen oder wie ?

06.11.2017, 00:37

tester2

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hat jemand ne Idee ?

06.11.2017, 03:44

Dmpartyrock

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Zitat:

Original von HAL 9000
Manchmal habe ich den Eindruck, du willst uns mit deinen Anmerkungen bar jeder Vernunft zur Weißglut treiben. Niemand lässt hier die rechte Seite weg. unglücklich

Zitat:

Aber dorthin werden wir bei deinem Tempo wohl nie kommen.

Notiere dir die letzte Gleichung: -2xz‘ = 3z +x^2

Google: lineare inhomogene DGL erster Ordnung lösen.

Klick auf den ersten Link. Voila! LOL Hammer

06.11.2017, 10:19

tester2

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y= yh+yp

Wie komme ich zu der homogenen Lösung?
verwirrt

07.11.2017, 10:27

tester2

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Ne Idee damit der Thread endlich geschlossen werden kann?

07.11.2017, 10:51

sibelius84

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Hallo zusammen,

gut, dass ich hier noch mal reingeschaut habe - wir wollen doch nicht, dass irgendjemand zur Weißglut getrieben wird Augenzwinkern

Bin ja schon da.

Zu der homogenen Lösung kommst du, indem du in der DGL das x^2 weglässt und mit Trennung der Variablen arbeitest: $\begin{eqnarray*} z'=\frac{dz}{dx} \end{eqnarray*}$ , mit dx multiplizieren, Variablen z und x trennen (so dass vor dz nur noch Terme mit z, und vor dx nur noch Terme mit x stehen) und auf beiden Seiten integrieren, schließlich noch nach z umformen.
Dann müsstest du aber die partikuläre Lösung durch Variation der Konstanten bestimmen, d.h.: die Konstante c, die in der homogenen Lösung auftritt, durch eine Funktion c(x) ersetzen, einsetzen und umformen. Ist ziemlich langwierige Rechnerei.

Daher sei noch auf eine andere Möglichkeit hingewiesen:
http://mathe-online.fernuni-hagen.de/MIB/HTML/node125.html
Dort wird die lineare DGL 1. Ordnung in der Form y' + f(x)y = g(x) dargestellt, du müsstest also deine DGL noch durch Umformung in diese Form bringen. Dann könntest du die Lösungsformel von der Seite anwenden. Ich meine Formel (9.3:6).

LG
sibelius84

07.11.2017, 14:11

tester2

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Wie soll ich das genau umformen ?

07.11.2017, 15:41

tester2

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In der Musterlösung haben die es so gemacht ?

Kann mir jemand erklären wie die das gemacht haben ?

Brauche ja keine Lösung , will es verstehen.

07.11.2017, 17:09

FuBäcker hello Wien

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Aus-/Einklammern

Zitat:

Ausklammern bezeichnet z.B. folgenden Vorgang (von links nach rechts

@sibelius84:
Es ist aber auch nicht falsch, zusätzlich die Bezeichung "Einklammern" zu verwenden.
Wenn 3a+6b in 3(a+2b) umgewandelt wird, dann wird ja in der Tat das a+2b eingeklammert. Nebeneffekt ist dabei, dass die 3 ausgeklammert wird.

In einem Fall, in dem vorher eine Klammer da stand und nachher nicht mehr da steht, kann jedenfalls nichts eingeklammert worden sein. Wenn dabei etwas aus der Klammer "heraus geholt" wurde, ist der Sprachgebrauch "Ausklammern" leider nahe liegend. Widersprüchlich zum gewohnten Sprachgebrauch, aber nahe liegend.

07.11.2017, 21:37

sibelius84

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@FuBäcker: Mit dem Einklammern hast du Recht. Trotzdem: "Ausklammern" und "Ausmultiplizieren" als Gegensätze - lernt man das nicht in der Schule? Und während meiner Schulzeit kann ich mich nicht erinnern, dass jemals jemand "Ausklammern" gesagt hätte, wenn er oder sie "Ausmultiplizieren" meinte. Heute passiert das andauernd. Wer ist schuld? Google? Twitter? Trump?

@tester2: In der Lösung machen die Separation der Konstanten. Ich hatte ja schon gesagt: Bei der homogenen Lösung kommt irgendwo eine Konstante rein (man integriert ja über beide Seiten und so entstehen die - wobei es aber aus nahe liegenden Gründen ausreichend ist, nur auf einer Seite an die Integrationskonstante zu denken) und wenn man dann y_p bestimmen will, ersetzt man die Zahl c durch eine Funktion c(x), setzt das ganze ein und formt nach c(x) um. Ist mir zu langwierig, das ausführlicher zu erklären. Die Lösungsformel gefällt mir besser, ist nur Einsetzen und Rechnen. (Meine Meinung, wie man am besten lernt: Erst machen - stur nach Formel -, dann verstehen, warum die Formel funktioniert.)

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