Tupel und bijektivität

02.11.2017, 08:52

ForeRunner

Tupel und bijektivität

Meine Frage:
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Meine Ideen:
Hallo ihr lieben. Ich hätte mir ja die mühe gemacht das für euch abzutippen, aber ehrlich gesagt hätte ich nicht gewusst wie. Und das ist auch der Grund warum ich mich hier melde. Kann mir jemand evtl. die Schreibweise erläutern? Ich werde daraus nämlich einfach nicht schlau.

Vielen dank schon mal für die Mühen smile

02.11.2017, 09:53

Leopold

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Die Indizes bei $\begin{align*} d \end{align*}$ geben der Reihe nach die Bilder von $\begin{align*} 1,2,3 \end{align*}$ an. Du kannst das wie eine Wertetabelle ansehen, wie du sie aus der Schule kennst. In die erste Zeile schreibst du die Eingaben $\begin{align*} 1,2,3 \end{align*}$ , in die zweite die Ausgaben $\begin{align*} i,j,k \end{align*}$

Beispiel:

$\begin{align*} d_{\color{green} 213} \end{align*}$ hätte die folgende Wertetabelle:

$\begin{align*} \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ \color{green} 2 & \color{green} 1 & \color{green} 3 \end{matrix} \end{align*}$

Ausführlich geschrieben: $\begin{align*} d_{213}(1) = 2, \, d_{213}(2) = 1, \, d_{213}(3) = 3 \end{align*}$

Bei (a) würde ich jetzt auf beiden Seiten der Reihe nach $\begin{align*} 1,2,3 \end{align*}$ einsetzen:

$\begin{align*} \left( d_{112} \circ d_{ijk} \right)(1) = d_{112}(1) \ \ \Leftrightarrow \ \ d_{112} \left( d_{ijk}(1) \right) = 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ d_{112}(i) = 1 \end{align*}$

Um die letzte Gleichung zu erfüllen, kannst du für $\begin{align*} i \end{align*}$ alle Möglichkeiten probieren:

$\begin{align*} d_{112}(1) = 1 \ \ \rightarrow \ \ \text{stimmt!} \end{align*}$

$\begin{align*} d_{112}(2) = 1 \ \ \rightarrow \ \ \text{stimmt!} \end{align*}$

$\begin{align*} \underbrace{d_{112}(3)}_{2} = 1 \ \ \rightarrow \ \ \color{red} \text{stimmt nicht!} \end{align*}$

Insgesamt sehen wir, daß es für $\begin{align*} i \end{align*}$ die beiden Möglichkeiten $\begin{align*} i=1 \end{align*}$ und $\begin{align*} i=2 \end{align*}$ gibt.

Jetzt setze noch 2 und dann 3 ein und forme wie oben um.

02.11.2017, 19:21

MathExpert

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Hallo! Ich arbeite an derselben Aufgabe zusammen mit ForeRunner.

Ich denke deine Hilfe hat mir weitergeholfen und wollte mein Ergebnis für die Aufgabe (a) mal posten als Bestätigung dass Ich es auch richtig gemacht habe.
Ich habe einfach versucht deinen Lösungsweg für $\begin{eqnarray*} \textbf{\emph{j}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \textbf{\emph{k}} \end{eqnarray*}$ zu verwenden.

Hier meine gefundenen Tupel als eine Menge T (vielleicht könntest du hier noch berichtigen wie man das am besten als Ergebnis schreibt).

$\begin{eqnarray*} \textbf{\emph{T = \{ (1, 1, 3), (1, 2, 3), (2, 1, 3), (2, 2, 3) \} }} \end{eqnarray*}$

Falls dies nicht richtig ist, würde ich mich über weitere Hilfe sehr freuen.

02.11.2017, 20:38

Leopold

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Das ist richtig.

02.11.2017, 21:17

MathExpert

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Vielen Dank für deine Antwort. Das freut mich dass es richtig ist.

Für die Aufgabe (b) habe ich die Tupel $\begin{eqnarray*} (1, 2, 3), (3, 2, 1), (2, 1, 3), (3, 1, 2) \end{eqnarray*}$ . Dies sind alle Kombinationen von den Elementen aus der Menge $\begin{eqnarray*} \textbf{\emph{M}} \end{eqnarray*}$ ohne dass ein Element doppelt vorkommt in einem Tupel, da in diesem Fall mehrere Elemente auf ein Zielelement abgebildet wären und die bijektivität nicht mehr gilt.

Für die (c) habe ich die Antwort $\begin{eqnarray*} f_{}^{-1}(d_{312}) = d_{231} \end{eqnarray*}$ da:
$\begin{eqnarray*} d_{312}(1) = 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d_{312}(2) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d_{312}(3) = 2 \end{eqnarray*}$
Somit brauche ich eine Funktion $\begin{eqnarray*} d_{i j k} \end{eqnarray*}$ bei der an Stelle $\begin{eqnarray*} \textbf{\emph{i}} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \textbf{2} \end{eqnarray*}$ , an der Stelle $\begin{eqnarray*} \textbf{\emph{j}} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \textbf{3} \end{eqnarray*}$ und an der Stelle $\begin{eqnarray*} \textbf{\emph{k}} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \textbf{1} \end{eqnarray*}$ .

Für die Aufgabe (d) habe ich keine Tupel gefunden für die gilt dass $\begin{eqnarray*} d_{i j k} \end{eqnarray*}$ surjektiv aber nicht bijektiv ist. Es kann keines der Tupel aus der Aufgabe (b) sein da $\begin{eqnarray*} d_{i j k} \end{eqnarray*}$ in diesem Fall bijektiv wäre. Also sind nur Tupel übrig in denen ein Wert aus $\begin{eqnarray*} \textbf{\emph{M}} \end{eqnarray*}$ doppelt vorkommt, in diesem Fall sind jedoch nicht alle Werte aus der Zielmenge $\begin{eqnarray*} \textbf{\emph{M}} \end{eqnarray*}$ abgebildet und somit kann $\begin{eqnarray*} d_{i j k} \end{eqnarray*}$ nicht surjektiv sein.

Würde mich wieder freuen über Hilfe freuen falls ich bei einer Aufgabe etwas falsch gemacht habe oder etwas besser machen könnte, Vielen Dank!

03.11.2017, 07:30

Leopold

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Zitat:

Original von MathExpert
Für die Aufgabe (b) habe ich die Tupel $\begin{eqnarray*} (1, 2, 3), (3, 2, 1), (2, 1, 3), (3, 1, 2) \end{eqnarray*}$ .

b) Nach elementarer Kombinatorik lassen sich 3 verschiedene Objekte auf $\begin{align*} 3! \end{align*}$ Arten anordnen. Deine können also nicht alle sein.

Zitat:

Original von MathExpert
Für die (c) habe ich die Antwort $\begin{eqnarray*} f_{}^{-1}(d_{312}) = d_{231} \end{eqnarray*}$

c) Die korrekte Schreibweise ist $\begin{align*} {d_{312}}^{-1} = d_{231} \end{align*}$ . Ansonsten stimmt das.

Zitat:

Original von MathExpert
Für die Aufgabe (d) habe ich keine Tupel gefunden für die gilt dass $\begin{eqnarray*} d_{i j k} \end{eqnarray*}$ surjektiv aber nicht bijektiv ist.

d) In der Tat gilt für Abbildungen $\begin{align*} f: M \to M \end{align*}$ , wenn $\begin{align*} M \end{align*}$ endlich (!) ist:

$\begin{align*} f \ \text{injektiv} \ \ \Leftrightarrow \ \ f \ \text{surjektiv} \ \ \Leftrightarrow \ \ f \ \text{bijektiv} \end{align*}$

Der Unterschied dieser Begriffe kommt erst bei unendlichen Mengen zum Tragen.

Zitat:

Original von MathExpert
in diesem Fall sind jedoch nicht alle Werte aus der Zielmenge $\begin{eqnarray*} \textbf{\emph{M}} \end{eqnarray*}$ abgebildet

Formulierungsvorschlag: "in diesem Fall werden jedoch nicht alle Werte aus der Zielmenge erreicht"

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