Rechenregel

02.11.2017, 09:38

NatürlicheZahl1

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Rechenregel

Hallo,
Sei a und b größer 0 und reell. Wie kann ich folgendes direkt als Folgerung aus der Defintion der n-ten Wurzel herleiten.

$\begin{eqnarray*} (ab)^{\frac{1}{n}}= a^{\frac{1}{n}}b^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ mit n aus den natürlichen Zahlen.

Ich komme irgendwie nicht drauf verwirrt

verwirrt

02.11.2017, 09:55

klarsoweit

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RE: Rechenregel
Na ja, du könntest das mal mit n potenzieren. smile

smile

02.11.2017, 10:06

NatürlicheZahl1

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RE: Rechenregel
Dann habe ich doch ab=ab ?

02.11.2017, 10:13

klarsoweit

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RE: Rechenregel
Korrekt. Jetzt mußt du nutzen, daß die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^n \end{eqnarray*}$ für x >= 0 injektiv ist.

02.11.2017, 13:26

NatürlicheZahl1

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RE: Rechenregel
Warum ist die injektiv?.D.h ab ist auch gleich ab oder?

02.11.2017, 13:40

klarsoweit

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RE: Rechenregel

Zitat:

Original von NatürlicheZahl1
Warum ist die injektiv?

Ich kenne nicht den Verlauf der Vorlesung und weiß nicht, ob das vielleicht schon vorher bewiesen wurde.

Zitat:

Original von NatürlicheZahl1
D.h ab ist auch gleich ab oder?

Nun ja, aus $\begin{eqnarray*} f((ab)^{\frac 1 n}) = ab = f(a^{\frac 1 n} b^{\frac 1 n}) \end{eqnarray*}$ folgt mit der Injektivität der Funktion f, daß $\begin{eqnarray*} (ab)^{\frac 1 n} = a^{\frac 1 n} b^{\frac 1 n} \end{eqnarray*}$ ist.

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02.11.2017, 13:48

NatürlicheZahl1

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RE: Rechenregel
Wir habe nur das definiert:

Für jede reelle Zahl x>0 und jede natürliche Zahl n aus N existiert genau eine positive r reelle Zahl y mit y^n=x. Die eindeutig bestimmte Lösung y heißt n te Wurzel aus x.
Kann man daraus die Aussage ableiten?

02.11.2017, 13:59

Leopold

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RE: Rechenregel

Zitat:

Original von NatürlicheZahl1
$\begin{eqnarray*} (ab)^{\frac{1}{n}}= a^{\frac{1}{n}}b^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ mit n aus den natürlichen Zahlen.

Und was bedeutet hier der Exponent $\begin{align*} \frac{1}{n} \end{align*}$ ? Meinst du in Wahrheit die folgende Gleichung

$\begin{align*} \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \end{align*}$ für reelle $\begin{align*} a,b \end{align*}$ mit $\begin{align*} a,b > 0 \end{align*}$

Potenzgesetze bereits anzuwenden, die erst noch bewiesen werden sollen, ist keine gültige Beweismethode.

Die ganze Aufgabenstellung krankt daran, daß niemand außer dir wissen kann, wie die ganzen Begriffe eingeführt wurden. Das einzige, was wir bisher wissen, ist die Definition der $\begin{align*} n \end{align*}$ -ten Wurzel, wie du sie uns genannt hast. Ob du gewisse Potenzgesetze bereits anwenden darfst, und vor allem für welche Zahlenbereiche im Exponenten, ist völlig ungeklärt.

Daher sind Hilfen hier nicht möglich, bevor du selbst die von mir genannten Fragen geklärt hast.

02.11.2017, 15:11

NatürlicheZahl1

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RE: Rechenregel
Hier mal die logische Folge. Mehr als die Definition haben wir nicht gemacht.

02.11.2017, 15:20

Natürliche Zahl1

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RE: Rechenregel
D.h ich kann folgendes schreiben:

$\begin{eqnarray*} (ab)^{\frac{1}{n}}= \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} = a^{\frac{1}{n}} b^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

Geht das so?

02.11.2017, 15:36

klarsoweit

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RE: Rechenregel
Nun ja, genau das soll ja bewiesen werden (zumindest das 2. Gleichheitszeichen).

Aus dem Satz folgt, daß $\begin{eqnarray*} y = (y^n)^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ ist. Setze nun $\begin{eqnarray*} y = a^{\frac{1}{n}} b^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ ein. smile

smile

02.11.2017, 15:48

Natürliche Zahl1

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RE: Rechenregel

Zitat:

Original von klarsoweit

Aus dem Satz folgt, daß $\begin{eqnarray*} y = (y^n)^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ ist.

Wie siehst du das?
Potenzierst du mit n und ziehst gleichzeitig die n-te Wurzel?

Also dann $\begin{eqnarray*} y=a^{\frac{1}{n}} b^{\frac{1}{n}} = ((a^{\frac{1}{n}} b^{\frac{1}{n}})^{n})^{\frac{1}{n}}= (ab)^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

oder?

02.11.2017, 15:54

klarsoweit

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RE: Rechenregel
OK. Ein paar warme Worte, warum $\begin{eqnarray*} (a^{\frac{1}{n}} b^{\frac{1}{n}})^{n} = ab \end{eqnarray*}$ ist, wären schon schön.

Zitat:

Original von Natürliche Zahl1
Wie siehst du das?
Potenzierst du mit n und ziehst gleichzeitig die n-te Wurzel?

Nun ja, es ist $\begin{eqnarray*} y = x^{\frac 1 n} \end{eqnarray*}$ . Setze nun x = y^n ein.

02.11.2017, 15:58

Natürliche Zahl1

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RE: Rechenregel

Zitat:

Original von klarsoweit
OK. Ein paar warme Worte, warum $\begin{eqnarray*} (a^{\frac{1}{n}} b^{\frac{1}{n}})^{n} = ab \end{eqnarray*}$ ist, wären schon schön.

Nach Potenzgesetz werden Exponenten multipliziert. Reicht das?

Den Rest verstehe ich jetzt smile

smile

02.11.2017, 16:03

klarsoweit

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RE: Rechenregel

Zitat:

Original von Natürliche Zahl1
Nach Potenzgesetz werden Exponenten multipliziert.

Ne, das gilt im Zweifelsfall im Moment nur für ganzzahlige Exponenten. Das "hoch 1/n" ist ja im Moment nur die Schreibweise für die n-te Wurzel, mehr nicht. Aber als erstes kannst du diese Potenzregel anwenden: $\begin{eqnarray*} (x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n \end{eqnarray*}$

02.11.2017, 16:15

NatürlicheZahl1

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RE: Rechenregel
Also dann so:
$\begin{eqnarray*} y=a^{\frac{1}{n}} b^{\frac{1}{n}} = ((a^{\frac{1}{n}} b^{\frac{1}{n}})^{n})^{\frac{1}{n}}= (a^{\frac{1}{n} n} \cdot b^{\frac{1}{n} n} )^{\frac{1}{n}} = (ab)^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$
So?

03.11.2017, 07:47

NatürlicheZahl1

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RE: Rechenregel
Stimmt das jetzt so smile

smile

03.11.2017, 09:26

klarsoweit

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RE: Rechenregel
Besser so:
$\begin{eqnarray*} a^{\frac{1}{n}} b^{\frac{1}{n}} = ((a^{\frac{1}{n}} b^{\frac{1}{n}})^{n})^{\frac{1}{n}} = ((a^{\frac{1}{n}})^n \cdot (b^{\frac{1}{n}})^n )^{\frac{1}{n}} = (ab)^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

Wie gesagt: die Potenzregel $\begin{eqnarray*} (a^q)^n = a^{qn} \end{eqnarray*}$ mit rationalem (oder rellem) q muß noch bewiesen werden.

03.11.2017, 09:38

NatürlicheZahl1

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RE: Rechenregel
Die Potenzregel brauche ich dann für die letzte Gleichheit?.
Wie komme ich auf den Beweis dafür?

03.11.2017, 09:40

klarsoweit

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RE: Rechenregel
Die Gleichheit $\begin{eqnarray*} (a^{\frac{1}{n}})^n = a \end{eqnarray*}$ ergibt sich aus der Definition der n-ten Wurzel. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.11.2017, 10:12

NatürlicheZahl1

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RE: Rechenregel
Wie siehst du das... sorry verwirrt

verwirrt

03.11.2017, 10:37

klarsoweit

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RE: Rechenregel
Sorry, "Definition" war der falsche Begriff. Das ergibt sich aus dem Satz 2.19:

Zu x gibt es eine positive reelle Zahl y mit $\begin{eqnarray*} y^n = x \end{eqnarray*}$ , in Zeichen $\begin{eqnarray*} y = x^{\frac 1 n} \end{eqnarray*}$ .

Somit ist: $\begin{eqnarray*} (x^{\frac 1 n})^n = y^n = x \end{eqnarray*}$ smile

smile

03.11.2017, 11:59

NatürlicheZahl1

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RE: Rechenregel
Aso smile

smile

Danke jetzt habe ich es verstanden smile

smile

smile

Kann ich jetzt aus dem gerade gezeigten folgendes ableiten
$\begin{eqnarray*} (ab)^{r}= a^{r}b^{r} \end{eqnarray*}$ mit einem r aus den rationalen Zahlen.
Einfach meinen Beweis hoch m nehmen? verwirrt

verwirrt

03.11.2017, 12:33

klarsoweit

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RE: Rechenregel
Sofern du r = m/n setzt, kannst du das so machen. smile

smile

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