Wie bestimme ich n0 beim Konvergenzbeweis?

02.11.2017, 13:56

Sunge

Wie bestimme ich n0 beim Konvergenzbeweis?

Meine Frage:
Hey Leute!

In der Uni sind wir derzeit bei Konvergenzbeweisen von Folgen und ich tue mich etwas schwer beim Bestimmen von $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$

Hier ist eine Aufgabe im PDF gelöst, nämlich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n+1}=1 \end{eqnarray*}$
https://drive.google.com/open?id=0BxnQKtNrwS1MWHZCUnptdks3S2JtelJJLWdWNVRicEVCVnlV

Wie kommt man auf das $\begin{eqnarray*} N (n_{0})=aufrunden(\frac{4}{\epsilon^{2}})+1 \end{eqnarray*}$ ? Wie bestimme ich allgemein das n0?

Meine Ideen:
Ich meine gut, das Epsilon kürzt sich weg. Aber wieso vier mal und das aufrunden?

02.11.2017, 14:15

Sunge

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Edit: Es geht übrigens um die Aufgabe (G8.1) und das aufrunden ist klar, da ja n0 aus den natürlichen Zahlen sein soll.
Kürzt sich das Epsilon^2 überhaupt noch weg, da der Bruch ja aufgerundet wird?

02.11.2017, 14:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sunge
Wie bestimme ich allgemein das n0?

Es gibt nicht das $\begin{align*} n_0 \end{align*}$ , es gibt allenfalls ein $\begin{align*} n_0 \end{align*}$ . Gefordert ist hier keine Ungleichungsauflösung, sondern nur ein hinreichend großes $\begin{align*} n_0 \end{align*}$ , so dass für alle $\begin{align*} n\geq n_0 \end{align*}$ die $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ -Abschätzung gilt. D.h., es stört dabei nicht im geringsten, wenn es auch einzelne oder mehrere $\begin{align*} n<n_0 \end{align*}$ gibt, für die die Abschätzung ebenfalls noch gilt.

In diesem Thread hatte ich mich mal ausführlich zu dieser Problematik geäußert. Ein Generalrezept, wie man beliebig strukturierte Folgen umformen und abschätzen kann, gibt es nicht. Bei speziellen Strukturen (z.B. gebrochen rationale Funktionen in n) kann man schon eher zugeschnittene Empfehlungen geben.

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