Extremwertproblem: Abgebrochene Ecke

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LeniMaja Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertproblem: Abgebrochene Ecke
Meine Frage:
Hallo, ich habe eine Frage zu Extremwertproblemen:
Bei einer Glasplatte ist eine Ecke abgebrochen. Berechne die Maße einer neuen rechteckigen Platte, die man aus der gegebenen herstellen kann und die eine maximale Fläche hat.
Die Platte ist 60cm lang und 40cm hoch unddie rechte obere Ecke ist abgebrochen. Die Kanten des abgebrochenen Stücks sind 8cm lang und 4cm hoch.

Meine Ideen:
Die Extremalbedingung wäre ja dann ,also Breite mal Höhe.
Ich habe die Geradengleichung für die Bruchkante aufestellt:

Ist das dann die Höhe? Und wenn aj, warum genau?
Die Breite müsste sein, wobei x sozusagen das Stück von der neuen zur alten Kante der Platte ist.

Das habe ich in die Formel für A eingesetzt und aufgelöst und komme dann auf
Die Ableitung ist dann und damit die Extremstelle berechnet, kommt bei mir für x 96 raus. In meinen Lösungen steht aber, dass es 66cm sein müssten. Wo ist da mein Fehler.
Da der Wert aber nicht im Intervall liegt, habe ich die Randstellen geprüft und für A(0)=3960 und für A(60)=0 heraus. Das kann aj irgendwie nicht sein.
Vielleicht aknn ja jemand von euch meinen Rechenweg durchgehen und mir sagen, wo mein Fehler ist?
Ich weiß auch, dass die Aufgabe schonmal gesfragt wurde, allerdings mit anderen Werten. Das konnte ich auch halbwegs nachvollziehen und habe versucht meine Aufgabe genauso zu lösen, das hat aber nicht geklappt, also würde ich mich sehr über Hilfe freuen smile
LG Leni
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem: Abgebrochene Ecke
Zitat:
Original von LeniMaja
Ich habe die Geradengleichung für die Bruchkante aufestellt:

Ist das dann die Höhe? Und wenn aj, warum genau?

Weil die Höhe a des Rechtecks eben von der x-Achse bis zu der Bruchkante geht.

Zitat:
Original von LeniMaja
Die Breite müsste sein, wobei x sozusagen das Stück von der neuen zur alten Kante der Platte ist.

Das ist ungünstig gewählt, denn es paßt gar nicht zu deinem Koordinatensystem, wo der Nullpunkt in der linken unteren Ecke ist. Damit paßt dann auch nicht die Gerade g(x) für die Bruchkante, denn nun hast du für x=0 eine Höhe von 66 cm. geschockt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Breite der neuen Platte ist nicht , sondern einfach nur . D.h., zu maximieren ist die Funktion im Intervall .

Zitat:
Original von LeniMaja
In meinen Lösungen steht aber, dass es 66cm sein müssten.

Wie soll das gehen, wenn die Breite der Ausgangsplatte nur 60cm ist? unglücklich
LeniMaja Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, das erklärt einiges smile
Dass die 66cm nicht im Intervall liegen, habe ich schon verstanden, aber man muss es ja trotzdem ausprobieren und an der Stelle hatte ich eben auch ein falsches Ergebnis raus.
Jetzt habe ich das ganze nochmal ausprobiert und pllötzlich ging es ganz schnell Big Laugh Dankeschön!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LeniMaja
aber man muss es ja trotzdem ausprobieren

"Muss" man nicht: Man kann auch ausrechnen und feststellen, dass im hier relevanten Intervall durchgängig gilt und somit die Funktion streng monoton wachsend ist. Was bedeutet, dass das Funktionsmaximum am Intervallende anzutreffen ist.
Conny_1729 Auf diesen Beitrag antworten »

So eine lineare Bruchkante ist ja eher selten anzutreffen (bruchmechanisch), aber dennoch kann man sich ein paar Gedanken machen, mit welcher Linearfunktion auch Lösungen für x<=60 zu finden sind.

Gegeben sei ein fester "Bruchpunkt": P(60;36)

Durch diesen Punkt verläuft folgende Hyperbelfunktion g(x), an deren Kontur alle berührenden Rechtecke konstante Flächen besitzen.



An der Stelle x=60 ist die Tangentensteigung also -0.6.

Durch den Punkt P würde dann eine lineare Funktion f(x) verlaufen, die durch einen Epsilon-Wert gesteuert werden kann. Wird der Epsilon-Wert zu Null, dann liegt sie tangential an der Hyperbel y(x) an.



Die Bruchkante liegt dann im Intervall:



Für positive Epsilon schneidet die Funktion f(x) dann die Hyperbel als Sekante und liefert eine Lösung innerhalb des Intervalls auf dem Sehnenstück.
 
 
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