Äquivalenzrelation

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02.11.2017, 18:16	Sven1001	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation Hallo, mir fehlt das Verständnis was folgender Beweis überhaupt beweist? Also sein A ~ B $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow Rang (A)=Rang(B) := r \end{eqnarray}$ Den Rang haben wir so berechnet: Es existieren invertierbare Matrizen $\begin{eqnarray} L \in K^{nxm} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R \in K^{nxm} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} LAR=N_r <br /> \end{eqnarray}$ Beweis zu dieser Relation: Es ex. invertierbare Matrizen: $\begin{eqnarray} L, L' \in K^{nxm} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R, R' \in K^{nxm} \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} LAR=N_r=L'BR' \end{eqnarray}$ Somit $\begin{eqnarray} A= (L^{-1} L') B ( R' R^{-1}) \end{eqnarray}$ , d.h A~B Was habe ich mit $\begin{eqnarray} A= (L^{-1} L') B ( R' R^{-1}) \end{eqnarray}$ gezeigt??
02.11.2017, 18:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast nichts gezeigt, und falsch ist es auch noch. Damit Matrizen invertierbar sind, muss n=m sein. Damit A und B denselben Rang haben, müssen sie nicht in der Anzahl von Zeilen oder Spalten übereinstimmen. Der Rang einer Matrix A ist einfach eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl Rang(A).
02.11.2017, 18:29	Sven1001	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hat der prof so aufgeschrieben. Deshalb verstehe ich es auch nicht. Was kann man denn da retten? Oder wie ist es richtig?
02.11.2017, 19:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die invertierbaren Matrizen müssen quadratisch sein, das ist aber für die Aufgabe unerheblich. Vermutlich verlangt die Aufgabe: Zeige, dass Ranggleichheit eine Äquivalenzrelation ist.
02.11.2017, 20:07	Sven1001	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok wie mache ich das. So anscheinend nicht ?
02.11.2017, 21:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin sicher, dass dir der Nachweis der Reflexivitaet keine Probleme macht ... oder glaubst du, es gibt eine Matrix A, deren Rang sich vom Rang der Matrix A unterscheidet ? Der Schwierigkeitsgrad der beiden anderen Eigenschaften ist ähnlich.
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02.11.2017, 22:23	Sven1001	Auf diesen Beitrag antworten »
Das verstehe ich. Die Frage ist wie schreibe ich es genau auf: 1. Reflexivität: A~A, da A= E_m A E_n So?
03.11.2017, 07:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum nicht einfach so: Rang (A)=Rang (A) für alle A.
03.11.2017, 08:01	Sven1001	Auf diesen Beitrag antworten »
aso Die Symmetrie dann auch so: Rang(A)=Rang(B) und Rang(B)= Rang(A)
03.11.2017, 08:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht"und" sondern"daraus folgt"... "für alle A und B"
03.11.2017, 08:19	Sven1001	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha ok. Und dann die Transitivität: Aus rang(A)=rang(B) und rang(B)= rang(C) folgt rang(A)= rang(C) für alle A,B und C Was soll dann der Beweis vom prof?
03.11.2017, 09:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht handelt er nach dem Motto "warum einfach, wenn's auch umständlich geht ?". Wahrscheinlicher ist, dass du seine Definition der Ranggleichheit verkürzt und falsch wiedergegeben hast. Wenn du sie richtig verstanden und formuliert hättest, wäre der Beweis auch mit seiner Definition gelungen. Bestimmt sind mehrere Definitionen gleichwertig, so dass man eine aus der anderen herleiten kann und den Beweis für die Äquivalenzrelation mit jeder Rangdefinition führen kann. Wenn du deine Lösung so abgibst, wie wir sie jetzt formuliert haben, ist sie zwar richtig, aber es kann passieren, dass sie nicht anerkannt wird, weil du nicht bewiesen hast, dass sie mit der professoralen Definition übereinstimmt. Außerdem zeigt der Beweis vom Prof einen multiplikativen Zusammenhang ranggleicher Matrizen, das ist doch an und für sich auch eine schöne Erkenntnis, unabhängig von der Tatsache, dass hier eine Äquivalenzrelation vorliegt.
03.11.2017, 09:09	Sven1001	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation Danke für deine Antwort . Gut, dass ich jetzt einen funktionierenden Beweis habe und daraus auch einen Erkenntisgewinn ziehe. Trotzdem bleibt die Frage. Was wollte der prof damit zeigen: Was habe ich mit $\begin{eqnarray} A= (L^{-1} L') B ( R' R^{-1}) \end{eqnarray}$ gezeigt?? ?
03.11.2017, 11:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Definition: Eine Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ hat genau dann den Rang $\begin{eqnarray} r\in \mathbb N \end{eqnarray}$ , wenn sie durch Multiplikation mit invertierbaren Matrizen auf die Normalform $\begin{eqnarray} N_r=diag(1,...,1,0,...,0)=(min\{\delta_{ij}(i=1,...,r),0\}) \end{eqnarray}$ gebracht werden kann. (Das ist insofern eine konstruktive Definition als man zusammen mit den Elementarmatrizen den Gaußschen Algorithmus zur Rangberechnung einführen kann.) Und dann hat er den Satz beweisen : Gleichrangige Matrizen können durch Multiplikation mit invertierbaren Matrizen ineinander übergeführt werden.
03.11.2017, 14:25	Sven1001	Auf diesen Beitrag antworten »
Aso D.h wenn ich Matrizen habe A und B und bringe diese auf die Normalform. Und es herrscht Rangleichheit. Dann kann ich A aus B durch entsprechende Multiplikationen mit Matrizen zurückführen.

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