Geister und Schließfächer

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aydooos Auf diesen Beitrag antworten »
Geister und Schließfächer
Meine Frage:
1. Sei ?2 eine natürliche Zahl. Wann hat n eine gerade Anzahl von Teilern, wann eine ungerade?

2. Ein Schrank hat 100 Schließfächer, die am Abend geschlossen sind. In der Nacht kommen 100 Geister und treiben ihr Unwesen.
Der erste Geist macht alle Schließfächer auf;
Der zweite ändert den Zustand jedes Schließfachs mit gerader Nummer, d.h., macht die Schließfächer 2; 4; 6; ... ; 100 wieder zu;
...
Der k - t e Geist ändert den Zustand jedes Schließfachs, dessen Nummer durch k teilbar ist.
Wie viele und welche Schließfächer sind am nächsten Morgen auf?

3. Gegeben seien sechs auseinanderfolgende natürliche Zahlen. Begründen Sie, dass es eine Primzahl gibt, die Teiler von genau einer dieser Zahlen ist.

Das sind die Aufgaben die ich bewältigen muss. Das Problem wiederum ist jedoch, dass das Modul was ich habe ein neues ist und ich deswegen kaum eine Ahnung habe wie die Aufgaben zu lösen sind.

Meine Ideen:
Zu 1. habe ich die Zahlen von 2-36 aufgeschrieben und geguckt wie viele Teiler sie haben. dabei ist mir ein Muster aufgefallen, und zwar haben die ersten beiden Zahlen (2 und 3) eine Anzahl von graden Teilern, gefolgt von einer mit ungerader(4). Darauf folgen 4 grade und wieder ein ungerader. Heisst also erst 2 grade gefolgt von einem ungeraden, dann 4 gerade mit einem ungeraden, dann 6, dann 8, dann 10. also wird zu dem abstand der ungeraden 2 addiert. Danach habe ich es so aufgeschrieben 4-1=3; 9-4=5; 16-9=7; 25-16=9; 36-25=11...
dazu habe ich auch eine Formel Ungerade \sum\limits_{k=2}^{n+1} k(2k-1)
ab diesen Punkt weiss ich nicht mehr weiter und auch nicht wie ich es begründen soll.

zu 2. es sind erst 100 offen, danach ändert der 2te Geist den Zustand, sodass nur noch 50 offen sind. Den letzten Punkt wiederum verstehe ich gar nicht, weshalb ich nicht auf die Lösung komme.

zu 3. wir haben 6 beliebig aufeinanderfolgende Zahlen also n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5
hier dachte ich das mindestens eine dieser zahlen weder durch 2 noch Tuch 3 oder 5 teilbar ist.

ich möchte mich schonmal im Voraus bei euch für die Hilfe bedanken.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo aydooos,

ich liebe dieses Beispiel - damals in der Schule hatte ich es mir aus einem Buch herausgezogen und habe es genossen, meine Mathelehrer damit zu quälen Big Laugh

Deine Überlegungen zu 1 scheinen mir schon mal ziemlich stichhaltig zu sein. Du hast im Prinzip herausgefunden:

Zahlen mit ungeraden Teilern sind genau die Glieder der Rekursion



Dennoch wäre es aber gut, wenn du genau die von dir gefundenen Zahlen mit einer ungeraden Anzahl an Teilern

Zitat:

4-1=3; 9-4=5; 16-9=7; usw...


noch als andere bestimmte Zahlen identifizierst Augenzwinkern Schreib sie dir einfach mal der Reihe nach hintereinander, dann siehst du's bestimmt. Das dürfte auch gut bei (b) helfen. Hier würde ich mir das einfach ganz konkret überlegen:
-> der dritte Geist verändert den Zustand jedes dritten Faches: 3, 6, 9, 12, 15, 18, ...
-> der vierte Geist verändert den Zustand jedes vierten Faches: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...
usw. usf. Eine wichtige Erkenntnis dürfte sein: Sobald der (k+1)-te Geist am Werk ist, werden alle Fächer 1, ..., k nicht mehr angefasst, deren Zustand ist also final. Lass mal so 10-12 Geister werkeln und schau dir nachher einfach an, welche Fächer noch offen sind. Da sieht man was.

Zur 3. könntest du versuchen zu zeigen, dass die 5 geht oder wenn die 5 nicht geht, dann die 7 geht. Ist das richtig? Ich habs mir nicht bis zu Ende überlegt, aber versuchs mal. Entweder es geht so oder selbst wenn es damit nicht geht, kommst du anhand dessen vielleicht auf einen modifizierten Weg, mit dem es geht.

LG
sibelius84

edit: 85, 86, 87, 88, 89, 90 - verdammt: die 5 kommt zweimal als Teiler vor und die 7 gar nicht. Geht also nicht. Hmm.
Also anders:
-> Es gibt eine Zahl in dem Intervall, die weder durch 2 noch durch 3 noch durch 5 teilbar ist (warum?).
-> Diese Zahl muss - so wie jede natürliche Zahl außer 1 - durch irgendeine Primzahl teilbar sein.
-> Warum kann diese Zahl nun nicht Teiler der anderen Zahlen sein?
aydooosaydooos Auf diesen Beitrag antworten »

also was noch zur 1 auffällt ist das die abstände addiert die zahl mit ungeraden Teilern angibt z.B. 1+3+5+7=16 d.h. die 16 hat eine ungerade Anzahl an Teilern. und es sind Quadratzahlen.

zu 2 habe ich das jetzt mit bis zu 12 geistern gemacht raus kam das 56 Schließfächer offen sind. die Schließfach Nummern hingegen sagen mir nicht viel also ergeben kein richtiges Muster. es gibt natürlich unter ihnen die Quadratzahlen sind aber weiss nicht was ich damit anfangen kann verwirrt

zu 3 also die 89 wäre durch keiner der zahlen teilbar (2,3,5) aber halt auch durch keine der anderen hab hierzu was im internet gefunden verstehe es leider nicht (Anhang)

Dankeschön für deine Hilfe Freude
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aydooosaydooos
und es sind Quadratzahlen.

Diese im Nebensatz noch angefügte Tatsache ist der Kernpunkt. smile


Man kann das übrigens ohne großartige Zahlentheoriekenntnisse (z.B. Teileranzahlfunktion etc.) begründen, warum die Quadratzahlen - und nur diese - eine ungerade Teileranzahl haben:

Man kann jedem Teiler von mit den Teiler von zuordnen, für den gilt . Das klappt aber auch in der anderen Richtung, d.h., jedem Teiler mit kann man den Teiler mit dann zuordnen.

D.h., in befinden sich genauso viele Teiler wie in , ihre Gesamtanzahl ist also gerade. Nur in dem Fall, wo eine ganze Zahl ist, kommt dieser Wert noch als Teiler hinzu, was dann die Gesamtanzahl der Teiler ungerade macht - in allen anderen Fällen bleibt sie gerade.



Zu 2. Versuch doch mal eine Verbindung zwischen den Aufgaben 1 und 2 zu finden: Im Prinzip ist die Lösung von 2. eine leichte Folgerung des Ergebnisses von 1.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

zur Geisteraufgabe siehe auch Aufgabe 26
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aydooosaydooos
zu 3 [...] hab hierzu was im internet gefunden verstehe es leider nicht (Anhang)

Lösungsvariante 2 ist doch kurz, prägnant und auch relativ einfach zu verstehen. Die anderen beiden Varianten sind zugegebenermaßen etwas länglicher.

Es gibt hier keine Dünnbrettvariante, nicht umsonst wurde diese Aufgabe so beim BWM gestellt: Wäre nicht 6 die Anzahl der aufeinander folgenden Zahlen, sondern etwa eine Primzahl, dann ist die Aufgabe in einem Satz erledigt - wie langweilig. Augenzwinkern
 
 
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aydooosaydooos
zu 2 habe ich das jetzt mit bis zu 12 geistern gemacht raus kam das 56 Schließfächer offen sind.



Wenn du das mit 12 Geistern machst, kannst du nur über die ersten 12 Fächer eine belastbare Aussage treffen. Denn du weißt ja nicht, was die Geister ab Nr. 13 mit den Fächern ab Nr. 13 noch so alles anstellen werden.
Es geht nicht einfach um die Anzahl offener Schließfächer, sondern ganz konkret darum, welche Schließfächer nachher noch offen sind. (Die Anzahl ergibt sich dann daraus.)
aydooosaydooos Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön die Formel ist sehr hilfreich Freude
aydooosaydooos Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön die Formel ist sehr hilfreich gewesen Freude
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