Induktion

03.11.2017, 07:46

Boggie23

Induktion

Hallo,
es geht um folgendes: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} k = \frac{(n+2)(n-1}{2} \end{eqnarray*}$

Man soll zeigen, dass A(1) falsch ist:
linke Seite:1
rechte Seite:0
Ja es ist falsch.
Der Induktionschritt jedoch richtig:
Also $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k =\sum\limits_{k=1}^{n} k + n+1 =\frac{(n+2)(n-1}{2} + n+1 = \frac{n^2+n-2+2n+2}{2} =\frac{n^2+3n}{2}=\frac{n(n+3)}{2} \end{eqnarray*}$
Das stimmt.
Jetzt ist die Frage für welche natürliche Zahl die Aussage A(n) wahr ist. Wie sehe ich das?

03.11.2017, 11:44

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Induktion

Zitat:

Original von Boggie23
Jetzt ist die Frage für welche natürliche Zahl die Aussage A(n) wahr ist.

Für kein $\begin{align*} n \end{align*}$ .

Du kannst deinen Induktionsbeweis so umbauen, dass du eben die Aussage $\begin{align*} \neg A(n) \end{align*}$ , d.h.,

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{n} k \neq \frac{(n+2)(n-1)}{2} \end{align*}$

zeigst!!!

03.11.2017, 11:52

Boggie23

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Induktion
Aso d.h da A(1) falsch ist und der Induktionschritt gilt das für kein n aus N oder?

03.11.2017, 13:54

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Boggie23
und der Induktionschritt gilt das für kein n aus N

Rede bitte in verständlichem Deutsch.

Im Induktionsschritt zeigst du $\begin{align*} \neg A(n+1) \end{align*}$ (d.h. A(n+1) ist falsch), wobei du dabei die Induktionsvoraussetzung $\begin{align*} \neg A(n) \end{align*}$ (d.h. A(n) ist falsch) nutzen darfst.

P.S.: Du kannst natürlich auch die Aussage

$\begin{align*} B(n):\quad \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \end{align*}$

für alle $\begin{align*} n\geq 1 \end{align*}$ zeigen, das widerlegt wegen $\begin{align*} \frac{n(n+1)}{2} = \frac{(n+2)(n-1)}{2}{\color{red}+1} \end{align*}$ natürlich auch Aussage A(n). smile

03.11.2017, 14:22

Boggie23

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank HAL9000. Schönen Tag dir noch smile

Neue Frage »

Antworten »

Induktion

Verwandte Themen