Welche Ordnung hat <a>?

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Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Ordnung hat <a>?
Meine Frage:
Sei a Element Z/mZ. Welche Ordnung hat dann die von a erzeugte Untergruppe <a> Teilmenge Z/mZ.

Meine Ideen:
Die Ordnung ord(a) ist ja definiert als das kleinste n für das gilt: a^n = e

Und hier ist mein Problem. Wenn a jetzt beispielsweise Element aus Z/7Z ist. Dann ist es ja bei Division mit 7 in einer der Restklassen {0,1,2,3,4,5,6} vertreten. Somit wäre ja in diesem Fall e = 0.

Sei a jetzt die 0 dann wäre ord(a) = 0

Sei a jetzt aber 1 dann wäre die ord(a) nicht definiert. Denn beispielsweise das Element 8 ist ja aus der Restklasse 1 und 8*8=64 ist auch aus der Restklasse 1 und 8*8*8=512 ist auch aus der Restklasse 1 dann wird ja a^n nie 0 ????
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1+1+1+1+1+1+1= ??? Die Ordnung eines Gruppenelements ist immer definiert.
Wenn 0 das neutrale Element ist, ist die Verknüpfung die Addition !
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
Die Definition ist für multiplikativ-geschriebene Gruppen. Die Gruppe ist eine additive Gruppe!

D.h. dort wäre die Definition das kleinste so dass .

Da für in , ist die Ordnung von also immer m. In deinem Beispiel also 8 7.

Edit: Zu spät, aber dafür viel LaTeX-lastiger Big Laugh
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
Zitat:
Original von IfindU
In deinem Beispiel also 8.


7
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
Ich könnte schwören man hat von gesprochen traurig
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Meineid Augenzwinkern
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
Okay ja das macht Sinn.
Aber dann wäre doch angenommen a wäre 2 die ord(<a>) = 4 , da 2+2+2+2=8=1.
Dann kann ich die Frage ja so wie sie gestellt ist pauschal gar nicht beantworten oder sehe ich das falsch?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
In der Hoffnung mal nichts falsches zu sagen. Die Ordnung ist falsch. Die 0 ist hier das neutrale Element, nicht die 1.
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
Ja stimmt wir reden ja von der additiven Gruppe.

Dann wäre ord(<2>)= 7, da 2+2+2+2+2+2+2=14=7=0
und für ord(<3>)= 7,da 3+3+3+3+3+3+3 = 21 =14=7=0
und für ord(<4>)= 7, da 4+4+4+4+4+4+4=28=14=7=0
usw.

dann wäre also die Ordnung immer gleich meinem gewählten m??? Lehrer
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
Vorsichtig beim extrapolieren. Es stimmt für . Beachte, dass 7 eine Primzahl ist.

Versuche das mal mit oder .
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
m= 4

ord(<1>) = 4, da 1+1+1+1=4=0
ord(<2>) = 2, da 2+2=4=0
ord(<3>) = 4, da 3+3+3+3=12=4=4=0

hmm...aber wenn Z/mZ zyklisch sein soll, muss dann m eine Primzahl sein??? weil die frage ist quasi aufgabenteil b und in a ist definiert das wir eine zyklische Gruppe Z/,Z uns anschauen...ich weiß aber nicht ob das für die b dann auch noch gilt...

weil für alle m=Primzahl würde das ja gelten das die Ordnung dann m wäre, oder?
verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Klar ist zyklisch. 1 hat immer die Ordnung m. Zyklisch heißt, dass ein Element die Gruppe erzeugt, also die Ordnung m hat. Das heißt nicht, dass alle Gruppenelemente dieselbe Ordnung haben.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
Jede Gruppe ist zyklisch. Und ein Erzeuger ist immer die 1. (Und die ist ebenfalls immer einer.) Falls eine Primzahl ist, ist jedes Element (ausser der 0) ein Erzeuger.

Und ja, für stimmt die Aussage. Allgemeiner hängt es von und ab. Kannst ja eine Vermutung aufstellen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Tschüss Wink
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
heißt die Ordnung ist immer der ggT (a,m) und wenn m eine Primzahl (nur durch 1 und sich selbst teilbar, Vielfaches der Primzahl ist ja in Z/mZ wieder das m) ist die Ordnung dann eben die Primzahl?

aber wie beweise ich das ??
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
Wenn Prim ist, ist für alle . Du hast gezeigt die Ordnung ist dann immer . Also kann nicht die Ordnung des Elementes sein.
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
Meinst du nicht vielleicht das kgV in Darstellung von Z/mZ?

Also bei m= 7 und a=2 wäre ja das kgV =14 und das wäre ja in Z/mZ = 7 ???
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
also wenn m eine Primzahl ist die Ordnung = m und wenn m keine Primzahl ist die Ordnung der ggT von a und m?

Ist logisch nach den Beispielen oben aber den allgemeinen Beweis krieg ich daraus nicht hin...hmm verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
Ich weiss nicht wie man noch Hinweise geben kann, ohne die Lösung zu verraten. Überprüfe also mal, ob .
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
ja okay das ist richtig, denn wäre m eine Primzahl teilen wir durch 1, also wäre die Ordnung dann m.

bei dem Beispiel m=4, a=2 wäre die Ordnung dann 4 / 2=2.

ich kann das anhand der Beispiele nachvollziehen, dass es so ist. Aber warum das allgemein so ist wie kann ich das herleiten???
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
Herleiten...Ich bin mir nicht sicher. Beweisen kann man so machen.

Die Ordnung von ist die kleinste Zahl , so dass . D.h. du musst zeigen, dass
(i) .
(ii) Für jede Zahl gilt .
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
zu (i)

m / ggT(a,m) *a = kgV *m und in der Darstellung Z/mZ ist ein Vielfaches das ja immer gleich dem m, weil es auch in der Restklasse 0 ist.

zu (ii)

sei k keiner dann ist k*a kein vielfaches von m und damit nicht in der Restklasse 0.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
(i) stimmt.
(ii) stimmt auch, aber würde ich nicht als rigorosen Beweis akzeptieren.

Ich würde es so machen. Angenommen es gilt . D.h. es existiert ein so dass . Und dann konstruiert man daraus einen Teiler von und , der größer ist, als der . Was nicht sein kann, weil der gerade der größte Teiler von und ist.
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
dann würde da ja stehen k= n*m/a. Wie konstruiere ich jetzt den Teiler?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
Die Bedingung ist umgeformt . Also wäre der natürliche Kandidat für den Teiler .
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
also angenommen ein solches k existiere mit k*a=0, dann gäbe es ein n, sodass gill: k*a = n*m umgeformt:

a= n*m/k

und jetzt hab ich den Teiler m/k (von m und a) der nach Bedingung größer ist als mein ggT(a,m) und da liegt dann der Widerspruch???
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
Das hast du nicht richtig umgeformt. Du musst zeigen, dass ein Teiler von und von ist.
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
hab ich auch gerade gemerkt, dass mit der Umformung was nicht stimmt.. verwirrt
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
Ich steh voll auf dem Schlauch sorry...es kann ja jetzt nicht mehr viel fehlen traurig Big Laugh
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
Du musst ein ganzes finden, so dass gilt.
Und du musst ein finden, so dass . Hier ist es wichtig, dass gilt (richtig umstellen. Dann sieht man t).
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
Ich bin einfach echt dumm gerade..

m/k * t = a

<=> m*t = k*a
<=> mt = kn
<=> t = n
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
Also . Bleibt noch das zu finden.
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
m/k *s =m

--> s/k =1
-->s = k
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
Geht doch Freude

Am besten gehe noch einmal vollständig den Beweis durch, warum ist.
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
Was mache ich denn jetzt mit dem s und t? Ich versteh immer noch nicht ganz wo jetzt der Teiler ist der größer als mein ggT ist unglücklich
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
Die Behauptung war ist ein gemeinsamer Teiler von und . Nach Annahme (ii) kann man zeigen, dass gilt. Nun hast du durch Bestimmen von gezeigt, dass wirklich ein Teiler von ist.
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Ordnung hat <a>?
Vielen, vielen Dank für deine Geduld. Wirklich danke!!!!
Freude Freude
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Schön, dass es geklappt hat Freude

Übrigens kann man mit der Definition der Ordnung auch herleiten, dass es sein muss. Aber etwas Herleiten ist (immer?) schwerer als etwas nachzuprüfen.
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »

Haben wir denn nicht jetzt die Ordnung von dem Element a bestimmt und nicht wie in der Aufgabe gefordert die Ordnung der von a erzeugten Untergruppe oder ist das das selbe? verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist das gleiche. Schreib mal auf welche Elemente die Untergruppe, von a erzeugt, enthält.
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