A beschränkt, Rand kompakt

03.11.2017, 14:22

Jefferson1992

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A beschränkt, Rand kompakt

Hallo ihr Lieben,

Ich bin gerade wahrscheinlich einfach blind, aber ich sehe es einfach nicht.

Ich soll zeigen: Sei $\begin{eqnarray*} A \subset R^n \end{eqnarray*}$ beschränkt. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \partial A \end{eqnarray*}$ kompakt ist.

Was ich gerne zeigen möchte, ist das der Rand von A abgeschlossen und beschränkt ist.
Abgeschlossenheit folgt, da wir in der Vorlesung gezeigt haben, dass der Rand für beliebiges $\begin{eqnarray*} A \subset R^n \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist, also auch für ein beschränktes A.

Aber warum gilt diese Implikation: A beschränkt $\begin{eqnarray*} \rightarrow \partial A \end{eqnarray*}$ beschränkt

Danke!

03.11.2017, 14:25

IfindU

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RE: A beschränkt, Rand kompakt
Ihr habt sicher $\begin{eqnarray*} \partial A = \overline A \setminus A^\circ \end{eqnarray*}$ definiert. Bleibt die Frage wie genau ihr $\begin{eqnarray*} \overline A \end{eqnarray*}$ definiert habt. Man sollte damit arbeiten, wenn man es präzise beweisen will.

03.11.2017, 14:37

Jefferson1992

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$\begin{eqnarray*} \overline A = A \cup \partial A \end{eqnarray*}$

So haben wir es definiert..

03.11.2017, 14:38

IfindU

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...Ok. Wie habt ihr also $\begin{eqnarray*} \partial A \end{eqnarray*}$ definiert?

03.11.2017, 14:43

Jefferson1992

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Im Skript steht nur der Text:

a heißt Randpunkt, wenn er weder innerer noch äußerer Punkt ist.

Aber wir haben auf dem Übunszettel $\begin{eqnarray*} \partial A = \overline A \setminus A^\circ \end{eqnarray*}$ gezeigt.

edit: ist der Rand nicht dadurch schon beschränkt?

03.11.2017, 14:47

IfindU

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Ok. Wir brauchen nur die grobe Inklusion $\begin{eqnarray*} \partial A \subseteq \{ x \in \mathbb R^n \mid x \text{ ist kein auesserer Punkt von } A\} \end{eqnarray*}$ .

Wenn die rechte Menge beschraenkt ist, ist es auch die linke (warum?). Laut Definition (hoffentlich hattet ihr diese und nicht eine leicht anders formuliert) ist
$\begin{eqnarray*} x \text{ ist kein auesserer Punkt von } A \iff \forall \epsilon > 0 \exists a \in A: \lvert x - a\rvert < \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Edit: Nur, wenn du weisst, dass $\begin{eqnarray*} \overline A \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. Was definiert wurde als $\begin{eqnarray*} \overline A = A \cup \partial A \end{eqnarray*}$ . Und das kannst du nur sagen, wenn $\begin{eqnarray*} \partial A \end{eqnarray*}$ beschränkt ist.

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03.11.2017, 14:55

Jefferson1992

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zu deiner ersten Frage:

Wenn ich aus einer beschränkten Menge etwas entnehme, ist das natürlich auch noch beschränkt.

zu 2.

Ja, wir haben es mit Umgebungen gemacht, aber ist ja durchaus die gleiche Richtung. Was da steht ist ja einfach nur, wenn x kein äußerer Punkt ist, dann kann ich zu jedem $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ eine Umgebung finden, die noch in A liegt.
Heißt A ist offen dann.

Aber wenn doch A offen ist, dann sind doch die Randpunkt nicht enthalten.
Irgendwas muss da falsch in meinem Kopf sein..

Auf jeden Fall ist ja durch das $\begin{eqnarray*} <\epsilon \end{eqnarray*}$ Beschränktheit da.

03.11.2017, 15:03

IfindU

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Zitat:

Original von Jefferson1992
Was da steht ist ja einfach nur, wenn x kein äußerer Punkt ist, dann kann ich zu jedem $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ eine Umgebung finden, die noch in A liegt.
Heißt A ist offen dann.

Nein. Offen heisst, dass es um alle $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ eine kleine Umgebung gibt, die nur weitere Elemente von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ enthält. Äußere Punkte sind Punkte, die weit weg von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sind. Kein äußerer Punkt zu sein, heißt also es ist nicht weit weg von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Also: Ich schaue mir eine beliebige Umgebung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ an und finde ein $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ in dieser Umgebung.

Das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ muss nicht in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , und die Umgebung darf auch Elemente enthalten, welche nicht in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegen. Harter Unterschied zu offen, wo $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegen müsste (!) und nur (!) A-Elemente in einer(!) Umgebung zu finden sind.

03.11.2017, 15:08

Jefferson1992

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Okay, ich habs verstanden. Danke!

Heißt das in der Definition, dass das a das ich finde sehr nah an diesem x liegt? Weil Epsilon wählt man ja bekannterweise immer sehr klein

edit: ist es nicht so, dass Äußere Punkte, die inneren Punkte von $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ sind?
Das würde doch wiederum bedeuten, dass kein äußerer Punkt bedeutet, dass der Punkt, den ich betrachte nur in A liegen kann oder auf dem Rand von A, weil sobald er außerhalb liegt, ist er ja definitionsgemäß schon äußerer Punkt, oder sehe ich das falsch?

03.11.2017, 15:11

IfindU

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Es reicht in dem Fall $\begin{eqnarray*} \epsilon = 1 \end{eqnarray*}$ zu wählen.

D.h. du weißt, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. (Was heißt das präzise?).
Und du weißt, dass alle Punkte in $\begin{eqnarray*} \partial A \end{eqnarray*}$ nahe an $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegen, hier Abstand kleiner $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, sind auch alle Punkte, die höchstens 1 von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ weg sind, beschränkt. Das zeigt man mit der Dreiecksungleichung.

03.11.2017, 15:26

Jefferson1992

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A beschränkt heißt, dass für ein $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a \leq b \forall a \in A \end{eqnarray*}$

Wenn ich das nun mal ausführe, erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} |x-a| \leq |x|+|a| < |x|+1 \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} \partial A \end{eqnarray*}$ beschränkt nach oben. Oder?
Muss ich dann nicht noch nach unten zeigen?

03.11.2017, 15:31

IfindU

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$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist ein Vektor. Wie vergleichst du das? Und was soll $\begin{eqnarray*} \forall a \in b \end{eqnarray*}$ heissen?

Und nein. Du willst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} |x| \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. D.h. du startest damit und schätzt es gegen die größen $\begin{eqnarray*} |a| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |x-a| \end{eqnarray*}$ . Erste ist beschränkt, weil $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ beschränkt ist (wenn man die richtige Definition nimmt) und letztere weil $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein äußerer Punkt ist.

Und im Mehrdimensionalen macht "Nach oben und unten" beschränkt relativ wenig Sinn.

03.11.2017, 15:41

Jefferson1992

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Sorry, hatte mich vertippt.

Okay, bevor ich jetzt weitermache. Ich bin gerade etwas verwirrt.

Warum genau muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} |x| \end{eqnarray*}$ beschränkt ist?

Meine Intuition dazu ist folgende:

Das x ist kein äußerer Punkt, das bedeutet, dass es nah an A liegt. Und ich möchte jetzt zeigen, dass x, da A beschränkt ist, nur maximal "n" von A entfernt liegt.
Denn dann wäre x beschränkt um n.
Sehe ich das richtig oder ist das ganz viel Käse?

Ich schätze also x ab. Sei $\begin{eqnarray*} a\in A \leq b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x| \leq |x-a|+|a| < \epsilon + b := n \end{eqnarray*}$

Das heißt, da $\begin{eqnarray*} |x| \end{eqnarray*}$ beschränkt, ist auch $\begin{eqnarray*} \partial A \end{eqnarray*}$ beschränkt.
Abgeschlossenheit hatte ich ja durchaus schon.

Und dann folgt Kompaktheit

03.11.2017, 15:46

IfindU

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Weil das die richtige Definition von Beschränkheit ist. $\begin{eqnarray*} A \text{ ist beschränkt } \iff \exists M > 0 : \forall a \in A: |a| < M \end{eqnarray*}$ .

Beachte den Betrag. Wie gesagt, $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ könnte sowas wie der $\begin{eqnarray*} (1,2,3) \end{eqnarray*}$ Vektor sein. Was heisst dann $\begin{eqnarray*} a \leq b \end{eqnarray*}$ ??

03.11.2017, 15:48

Jefferson1992

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Ach jetzt versteh ich |a| < b smile

smile

03.11.2017, 15:54

IfindU

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Genau. Die musst bloss das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wählen. Es heisst "Es gibt ein a", nicht "Es gilt für alle a".

03.11.2017, 16:16

Jefferson1992

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Danke!
Ich schreib es mal schön auf und dann darfst du nochmal schauen, wenn du noch magst smile

smile

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