Anfangswertproblem einer DGL mit Trennung der Veränderlichen

03.11.2017, 17:34

Mud91

Anfangswertproblem einer DGL mit Trennung der Veränderlichen

Hallo,

ich habe folgende DGL

$\begin{eqnarray*} \dot x = x^{2} \end{eqnarray*}$ (x nach der Zeit abgeleitet)

Edit (mY+): LaTeX berichtigt; x-Punkt = \dot x

Die Lösung hierzu kenne ich diese lautet:

$\begin{eqnarray*} x(t,K) = \frac{Ke^{t} }{1 + Ke^{t} } \end{eqnarray*}$

Für die Anfangsbedinung x(0) = $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} K = \frac{x_0}{1 - x_0} \end{eqnarray*}$

Auf diese Ergebnisse komme ich aber überhaupt nicht... Hier meine Lösungsweg
1. Trennung der Variablen:

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt} = x(1-x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{dx}{x(x-1)} = dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_{}^{} \! \frac{1}{x(x-1)} \, dx = \int_{}^{} \! \, dt \end{eqnarray*}$

2. Partialbruchzerlegung von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x(x-1)} \end{eqnarray*}$ erhalte ich
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} \end{eqnarray*}$

3. Das in das Integral aus dem Punkt 1 eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{1}{x} - \frac{1}{(x-1)} \, dx = \int_{}^{} \! \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ln(x) - ln(x-1) + C_1 = t + C_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ln(x) - ln(x-1) + C_1 = t + C_2 \end{eqnarray*}$ mit: $\begin{eqnarray*} /\cdot e^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{x}{x-1} + e^{C_1} = e^{t} + e^{C_2} \end{eqnarray*}$

So und hier hört es irgendwie auf... ich kann das nicht so umstellen, sodass die Lösung rauskommt... Hammer

Für Hilfe wäre ich dankbar smile

03.11.2017, 18:06

Mud91

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weitere Lösung für x(t)
Bzw. ist eine weitere Lösung :

$\begin{eqnarray*} x(t) = \frac{e^{t} }{C - e^{t} } \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} C = \frac{1}{x_0} -1 \end{eqnarray*}$

Auf diese Lösung komme ich ebenfalls nicht...

03.11.2017, 23:10

mYthos

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Wo kommt bei der Trennung im ersten Schritt das x(1 - x) her?
In der Angabe steht rechts doch nur $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$

Davon ist die Lösung $\begin{eqnarray*} x = - \frac 1 {t+c} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x = \frac 1 {c_1 - t} \end{eqnarray*}$
--------------
Kannst du die Angabe nicht vollständig und im Originaltext schreiben? Und ist das Schulmathematik?

mY+

04.11.2017, 14:56

Mud91

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Sorry,

da habe ich die Gleichung anfangs falsch aufgeschrieben, diese ist:

$\begin{eqnarray*} x^{\cdot } = x(1-x) \end{eqnarray*}$ (x abgeleitet nach der zeit)

und die allgemeine Lösung mit dem Verfahren trennung der Variablen

ist $\begin{eqnarray*} x(t,K) = \frac{Ke^{t} }{1 + Ke^{t} } \end{eqnarray*}$

und mit der bedingung $\begin{eqnarray*} x(0) = x_0 \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} K = \frac{x_0}{1-x_0} \end{eqnarray*}$

Nein das ist Stoff aus der Uni Mathe zwei. Ich habe auch keine Aufgabenstellung,
das ist aus dem Skript. Vielen Dank für die Hilfe smile

04.11.2017, 19:17

Mud91

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Zufällig habe ich auch eine aufgabe mit $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ...

da lautet die Lösung $\begin{eqnarray*} x(t) = \frac{1}{\frac{1}{x_0} -t} \end{eqnarray*}$

ich komme komischerweise mit Trennung der Variablen auf $\begin{eqnarray*} t = - 1/x_0 \end{eqnarray*}$
Hilfe dabei wäre für mich auch sehr gut smile

- Danke

04.11.2017, 19:49

sibelius84

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Hallo Mud91,

dann schildere doch mal genau, wie du darauf kommst. Nur noch das t und der Anfangswert? Wo ist denn dann dein x hin verschwunden? Dass kein t mehr vorkommt, sondern nur noch x und x0, kann manchmal vorkommen, dann hast du ein Equilibrium (= konstante Lösung). Aber dass direkt das x verschwindet, scheint mir doch sehr merkwürdig.

Grüße
sibelius84

15.11.2017, 10:17

Mud91

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Hallo,

also erstmal zur DFG $\begin{eqnarray*} x^{\cdot } = x^{2} \end{eqnarray*}$

mit Trennung der Variablen:

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt} = x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{dx}{x^{2} } = dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! x^{-2} \, dx = \int_{}^{} \! dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow - \frac{1}{x} = t + C \end{eqnarray*}$

Bis dahin komme ich, aber ich weis nicht wie man auf diese Lösung kommt:
$\begin{eqnarray*} x(t) = \frac{1}{\frac{1}{x_0} - t} \end{eqnarray*}$

15.11.2017, 10:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mud91
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow - \frac{1}{x} = t + C \end{eqnarray*}$

Bis dahin komme ich, aber ich weis nicht wie man auf diese Lösung kommt:

Verstehe die Frage nicht. Du machst das, was man immer macht: stelle die obige Gleichung nach x um und wähle C so, daß x(0) = x_0 ist.

15.11.2017, 11:01

Mud91

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Danke für die schnell Antwort,

nun dann erhalte ich diese Gleichung:
$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{-C - t} \end{eqnarray*}$

meine frage ist, warum $\begin{eqnarray*} -C = -\frac{1}{x_0} \end{eqnarray*}$ ist ??

Ich habe die Aussage nicht ganz verstanden, dass C so gewählt werden muss,
sodass x(0) = x_0 ist, sorry verwirrt

Oder soll das einfach heißen, dass für t = 0 --> $\begin{eqnarray*} C = -\frac{1}{x_0} \end{eqnarray*}$ ?
dann wäre das klar denke ich smile

15.11.2017, 11:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mud91
Oder soll das einfach heißen, dass für t = 0 --> $\begin{eqnarray*} C = -\frac{1}{x_0} \end{eqnarray*}$ ?
dann wäre das klar denke ich smile

Ja, was sonst? Irgendwo muß ja in der Lösung verarbeitet werden, daß die Anfangsbedingung x(0) = x_0 erfüllt wird. Das geht nicht mit jedem C, sondern nur mit einem speziell gewählten C.

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