Kombinatorik / La Place

03.11.2017, 17:36

Zorkus

Kombinatorik / La Place

Es geht um folgende Aufgabe:

"An einem Tangokurs nehmen 12 Ehepaare teil. Finden Sie einen geeigneten
Messraum und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau neun
Ehepaare gemeinsam tanzen."

Zu allererst finde ich die Aufgabe nicht spezifisch genug gestellt, es steht ja nicht einmal dabei dass die Personenzuordnung zufällig geschieht, zudem weiß ich auch nicht nach welchen "Regeln" es geschieht. Dürfen Frauen mit Frauen / Männer mit Männern tanzen oder nicht, kann ja auch sein dass ein oder mehrere Ehepaare gleichgeschlechtlich sind etc.

Entsprechend habe ich den Messraum so gewählt, dass ich das Ganze zumindest Geschlechter neutral betrachten kann, da nehme ich EP1.1 und EP1.2 für Ehepaar 1, ... , EP12.1 und EP12.2 für Ehepaar 12, das Ganze verpackt als Menge von Omega... Was trotzdem die Problematik der "Regeln" nicht löst, darf denn EP1.1 mit zum Beispiel EP12.1 tanzen oder nicht. Dies beeinflusst ja die Betrachtung der Aufgabe, entweder wählt man für die erste Person aus einem Pool von 12 oder 23 Leuten aus.

(Aus klassischer Ehe-Betrachtung wäre es dann ja: für die erste Frau wählt man aus 12 Männern für die zweite Frau dann aus 11 und so weiter... Oder aber Für die erste Person aus 23 übrigen Personen...)

Um die Aufgabe hier erstmal im Ansatz lösen zu können, würde ich sagen gehen wir einfach mal aus der Perspektive der klassischen Ehe, aus Mann und Frau, aus.

Stimmt die Annahme meinerseits, dass $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = "Möglichkeiten genau 9 Ehepaare tanzen gemeinsam"?

Nach dem Schema müsste dann ja die Gesamtzahl der Möglichkeiten $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 24 \\ 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein und die Gleichung für die Wahrscheinlichkeit: $\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} 12 \\ 9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 12 \\ 3 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 24 \\ 12 \end{pmatrix}} \end{eqnarray*}$

Ich bin mir aber nicht sicher und habe das Gefühl, dass das so nicht stimmen kann. Um Hilfe und Anregungen würde ich mich freuen.

Viele Grüße

03.11.2017, 17:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von Zorkus
es steht ja nicht einmal dabei dass die Personenzuordnung zufällig geschieht, zudem weiß ich auch nicht nach welchen "Regeln" es geschieht. Dürfen Frauen mit Frauen / Männer mit Männern tanzen oder nicht, kann ja auch sein dass ein oder mehrere Ehepaare gleichgeschlechtlich sind etc.

Die Aufgabe ist vermutlich Jahrzehnte alt, die genderpolitische Korrektisierung hat da noch nicht stattgefunden - kannst ja mal einen Grünen drauf ansetzen. Augenzwinkern

Einstweilen solltest du ertragen, dass die damaligen Autoren die klassische Ehe "Mann+Frau" gemeint haben, und es auch hier immer nur um gemischtgeschlechtliche Tanzpaare gehen soll.

03.11.2017, 18:05

Zorkus

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Zitat:

Original von HAL 9000

Die Aufgabe ist vermutlich Jahrzehnte alt, die genderpolitische Korrektisierung hat da noch nicht stattgefunden - kannst ja mal einen Grünen drauf ansetzen. Augenzwinkern

Einstweilen solltest du ertragen, dass die damaligen Autoren die klassische Ehe "Mann+Frau" gemeint haben, und es auch hier immer nur um gemischtgeschlechtliche Tanzpaare gehen soll.

Entsprechend bin ich ja bei dem Lösungsansatz von der klassischen Ehe ausgegangen Big Laugh

Die Gesamtzahl der Möglichkeiten ist aber sicher falsch, eher irgendwas mit 12! Aber wie gesagt ich bin mir da unsicher und würde mich über Hilfe oder Ansätze freuen.

03.11.2017, 18:11

HAL 9000

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Bevor wir hier über Anzahl von günstigen Möglichkeiten für dieses oder jenes Ereignis reden, sollten wir uns einen passenden Laplaceschen Wahrscheinlichkeitraum überlegen. Und da bietet sich hier schlicht die Symmetrische Gruppe $\begin{align*} \Omega=S_{12} \end{align*}$ an, d.h., die Menge aller Permutationen von 12 Elementen. $\begin{align*} \omega=(\omega_1,\ldots,\omega_{12})\in \Omega \end{align*}$ ist dann etwa so zu interpretieren, dass Mann $\begin{align*} i \end{align*}$ mit Frau $\begin{align*} \omega_i \end{align*}$ tanzt.

Damit ist $\begin{align*} |\Omega|=12! \end{align*}$ die Gesamtzahl möglicher Tanzpaaraufteilungen.

Bei genau 9 zusammen tanzenden Ehepaaren hat man zunächst die $\begin{align*} \binom{12}{9} \end{align*}$ Auswahlmöglichkeiten der 9 Paare, insofern ist das noch korrekt bei dir. Damit stehen die 3 restlichen Ehepaare fest, o.B.d.A. seien dies die Paare 1,2,3. Was jetzt lediglich noch gewählt werden kann ist, mit welcher Frau der Mann 1 tanzt:

a) Ist es Frau 2, dann muss Mann 2 mit Frau 3 tanzen und Mann 3 mit Frau 1.
b) Ist es Frau 3, dann muss Mann 2 mit Frau 1 tanzen und Mann 3 mit Frau 2.

Andere Varianten gibt es nicht, ansonsten droht ein zehntes tanzendes Ehepaar! D.h., es gibt lediglich noch 2 Möglichkeiten. Insgesamt ist die Wahrscheinlichkeit also

$\begin{align*} \frac{\binom{12}{9}\cdot 2}{12!} = \frac{2}{9!\cdot 3!} \approx 9.2\cdot 10^{-7} \end{align*}$ .

P.S.: Die Berechnung von genau $\begin{align*} k \end{align*}$ Tanz-Ehepaaren für allgemeines $\begin{align*} k=0,1,\ldots,12 \end{align*}$ ist erheblich aufwändiger, gerade bei kleinen $\begin{align*} k \end{align*}$ klappt es dann nicht mehr so einfach wie eben noch bei $\begin{align*} k=9 \end{align*}$ zusammengeschustert. Augenzwinkern

03.11.2017, 18:33

Zorkus

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Vielen Dank!!!

Mit den Gesamtmöglichkeiten ist mir ja eigentlich selbst aufgefallen, macht ja Sinn.
Mit den nur "zwei" Möglichkeiten für die restlichen Paare nach deiner Antwort auch!

Danke!!

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