Mengenbeweis

03.11.2017, 17:57

b0urb0n_kid

Mengenbeweis

Meine Frage:
Nabend zusammen, ich soll zeigen, dass folgende Aussage gilt:
Seien $\begin{eqnarray*} A, B \end{eqnarray*}$ Mengen und $\begin{eqnarray*} B \subseteq A \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} B = A \setminus (A \setminus B) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mein Ansatz war bisher:
z.Z.: $\begin{eqnarray*} x \in B \Leftrightarrow x \in A \setminus (A \setminus B) \end{eqnarray*}$

Ich nehme mir also den rechten Teil vor und versuche ihn nun zu $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ zu führen.

$\begin{eqnarray*} x \in A \setminus (A \setminus B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow & x \in A \wedge x \notin (A \setminus B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow & x \in A \wedge (x \notin A \wedge x \in B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow & (x \in A \wedge x \notin A) \wedge x \in B \end{eqnarray*}$
Ich setze hierbei bei den ersten zwei Schritten einfach die Definition von "\" ein und wende danach das Assoziativgesetz an. Hier ist allerdings der Punkt wo es bei mir stockt :/... Ich weiß einfach nicht, wie ich das ganze weiter umformen kann...

Ich hoffe Ihr könnt mir da weiterhelfen.
Gruß Hendrik

03.11.2017, 19:33

Jefferson1992

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Mengenbeweis

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x \in A \setminus (A \setminus B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow & x \in A \wedge x \notin (A \setminus B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow & x \in A \wedge (x \notin A \wedge x \in B) \end{eqnarray*}$

Wie kommst du hier hin, Zwischenschritt bitte. Da ist nämlich der Knackpunkt!

Gruß Hendrik

03.11.2017, 22:17

b0urb0n_kid

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Mengenbeweis
Naja ich dachte, dass wenn ich folgende Definition einsetze:

$\begin{eqnarray*} A \setminus B := \{x | (x \in A) \wedge (x \notin B)\} \end{eqnarray*}$

von

$\begin{eqnarray*} x \in A \setminus (A \setminus B) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow & x \in A \wedge x \notin (A \setminus B) \end{eqnarray*}$

auf dies hier komme...
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow & x \in A \wedge (x \notin A \wedge x \in B) \end{eqnarray*}$

Das ganze wäre doch nichts anderes als
$\begin{eqnarray*} x \in A \setminus (A \setminus B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow & x \in A \wedge x \notin (A \setminus B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow & x \in A \wedge \neg (x \in A \wedge x \notin B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow & x \in A \wedge \neg (x \in A \wedge \neg (x \in B)) \end{eqnarray*}$

Das ist doch wiederum in der Aussagenlogik

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow & x \in A \wedge x \in B \end{eqnarray*}$

richtig?

Und da $\begin{eqnarray*} B \subseteq A \end{eqnarray*}$ gilt folgt:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow & x \in A \wedge x \in A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow & x \in A \end{eqnarray*}$

Das war dann die rechte Seite und aus

$\begin{eqnarray*} & x \in B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow & x \in A \end{eqnarray*}$

Und damit müsste ich doch fertig sein oder?

03.11.2017, 22:27

Jefferson1992

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Mengenbeweis
ist richtig, nur das du B einfach mit A ersetzt, ist irgendwie komisch.

Sag doch einfach, da B nach Voraussetzung in A liegt, kann der Schnitt aus den beiden nur B sein.,

Neue Frage »

Antworten »

Mengenbeweis

Verwandte Themen