Induktionsbeweis

03.11.2017, 18:26

Boggie23

Induktionsbeweis

Hallo,
es geht um folgenden Induktionsbeweis:

$\begin{eqnarray*} q= \frac{2n}{3} +\frac{n^2}{4} - \frac{n^3}{6} + \frac{n^4}{4} \end{eqnarray*}$

Der Induktionsanfang ist klar:

Was mache ich genau im Induktionschritt. Wo will ich dann hinkommen:

$\begin{eqnarray*} q= \frac{2(n+1)}{3} +\frac{(n+1)^2}{4} - \frac{(n+1)^3}{6} + \frac{(n+1)^4}{4} \end{eqnarray*}$

03.11.2017, 18:31

HAL 9000

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Vielleicht bist du mal so gütig, und nennst die wirklich zu beweisende Behauptung. In deinem herausgerissenen Fragment ist die jedenfalls nicht zu erkennen. unglücklich

03.11.2017, 18:32

Boggie23

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RE: Induktionsbeweis
Tut mir leid. Es geht darum, dass q eine natürliche Zahl ist.

03.11.2017, 18:38

HAL 9000

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RE: Induktionsbeweis

Zitat:

Original von Boggie23
Wo will ich dann hinkommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2(n+1)}{3} +\frac{(n+1)^2}{4} - \frac{(n+1)^3}{6} + \frac{(n+1)^4}{4} \end{eqnarray*}$

Multiplizier das mal alles schön aus, und schau, was nach Abtrennung des laut Induktionsvoraussetzung ganzzahligen $\begin{align*} \frac{2n}{3} +\frac{n^2}{4} - \frac{n^3}{6} + \frac{n^4}{4} \end{align*}$ dann noch übrig bleibt - vielleicht hast du ja Glück, und diesem Rest sieht man die Ganzzahligkeit an. Augenzwinkern

03.11.2017, 19:07

Boggie23

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RE: Induktionsbeweis
Aso ok smile

A(n+1):

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} + \frac{2n}{3} + \frac{n^2}{4} + \frac{n}{2} + \frac{1}{4} - \frac{n^3}{6} - \frac{n^2}{2} -\frac{n}{6} - \frac{1}{6} + \frac{n^4}{4} + n^3 + \frac{3n^2}{2} + n + \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{2n}{3} + \frac{n^2}{4} - \frac{n^3}{6} + \frac{n^4}{4} ) + \frac{n}{2} + \frac{n^2}{2} -\frac{n}{6} + \frac{n^4}{4} + n^3 + \frac{3n^2}{2} + n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{2n}{3} + \frac{n^2}{4} - \frac{n^3}{6} + \frac{n^4}{4} ) + \frac{4n}{3} + \frac{n^4}{4} + n^3 + 2n^2 \end{eqnarray*}$

Die erste Klammer ist ja eine natürliche Zahl. Was mache ich mit dem Rest?

03.11.2017, 20:38

sibelius84

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Für n=2 ist das keine natürliche Zahl, evtl hast du dich verrechnet?

Vielleicht hilft eine Reformulierung der Behauptung vermöge Multiplikation mit 12:

Man zeige, dass 8n+3n²-2n³+3n^4 stets durch 12 teilbar ist.

Das ist ja ein Polynom vierten Grades, mit einer Nullstelle bei n=0 (mal als reelles Polynom betrachtet), dann also noch dritten Grades. Evtl. kann man das auch faktorisieren mit Horner-Schema / Polynomdivision und damit die Behauptung zeigen? Oder steht in der Aufgabenstellung explizit "Zeigen Sie mit vollständiger Induktion..."?

edit: oder so: für gerades n reicht es zu zeigen, dass 8n-2n³ durch 12 teilbar ist (warum?). Also kann man n=2k+1 als ungerade voraussetzen. (Nur ein möglicher Ansatz - ergebnisoffen.)

03.11.2017, 20:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von sibelius84
evtl hast du dich verrechnet?

Nicht nur evtl., sondern ganz sicher, und gleich mehrmals (auch zwischen den Zeilen). unglücklich

03.11.2017, 21:10

Boggie23

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Vllt habe ich in Latex den Überblick verloren. Ich sollte es erstmal auf Papier versuchen Big Laugh

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