Supremum einer Menge

03.11.2017, 18:35

anderson94

Supremum einer Menge

Meine Frage:
Sehr geehrtes Team,

Ich sitze an meinem Wöchtentlichen Analysis Blatt und stecke bei einer Unteraufgabe Fest.
Ich Soll von der Menge := $\begin{eqnarray*} \left\{ x+ \frac{1}{x}: \frac{1}{2} \leq x < 2\right\} \end{eqnarray*}$ das Sup bzw Inf bestimmen und schauen ob es sich dabei auch um Max bzw. Min handelt.

Das Infimum bzw. Min war mit einem Widerspruchsbeweis schnell erledigt, jedoch wollte ich beim Sup auch mit einem Widerspruchsbeweis argumentieren, jedoch komme ich zu keinem WS.

Meine Ideen:
Hier meine Ansätze. Also 5/2 ist das Max was auch dann das Sup der Menge ist. Hier mein Widerspruchsbeweis.

Ang. $\begin{eqnarray*} \exists x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \leq x < 2 \end{eqnarray*}$ für das gilt: $\begin{eqnarray*} x+ \frac{1}{x} > \frac{5}{2} \end{eqnarray*}$ .

Hab dann versucht die Ungleichung herum zu formen bis ich einen Ws habe, jedoch bekomme ich keinen bzw. kann nicht wirklich sagen dass es sich um einen Ws handelt. Oder gehe ich da falsch heran? Würde mich um jeden Tipp wirklich freuen.
mfg

03.11.2017, 19:15

Jefferson1992

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Also:

Wie hast du deine Ungleichung den umgeformt, ich komme da nämlich auf einen Widerspruch..

03.11.2017, 19:48

anderson94

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Servus Jefferson,

also ich habe verschiedene Umformungen probiert, zb:

$\begin{eqnarray*} 2x^{2} -5x+2 >0 \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} 2(x^{2} -5/2x+1) >0 \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} x^{2} -5/2x+1 >0 \end{eqnarray*}$
dann habe ich versuch mit Binomen zu arbeiten, jedoch vergeblich zb:
$\begin{eqnarray*} (x-1)^{2} -1/2x >0 \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} x(x-5/2) >-1 \end{eqnarray*}$ ... mir kommt es vor wie ein zielloses umformen... bzw weis ich fast garnicht auf was ich am ende hinaus will verwirrt

03.11.2017, 20:07

Jefferson1992

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Du nimmst doch an, dass ein x aus dem gegebene Intervall existiert für das folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} x+\frac{1}{x} > \frac{5}{2} \end{eqnarray*}$

Die erste Umformung, die mir da ins Auge springt ist $\begin{eqnarray*} *x \end{eqnarray*}$ zu rechnen, da der Bruch irgendwie hässlich ist.

Was bekommen wir dann?

LG Chris

03.11.2017, 20:11

sibelius84

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Hallo zusammen,

auch wenn man es an dieser Stelle des Semesters, bei diesem Übungsblatt wahrscheinlich eigentlich noch nicht "darf" - aber zumindest für sich selber kann man hier mit Ableitung / Kurvendiskussion arbeiten, so bist du evtl auf die 5/2 gekommen.

Deine Ungleichung x^2-5/2x+1>0 lässt sich umformen zu |x-5/4| > 3/4 und damit zu einem Widerspruch zur Voraussetzung. Nicht irgendwelche Binome verwenden, wo noch etwas mit x draußen vor der Tür bleibt, sondern immer die quadratische Ergänzung anstreben.

Grüße
sibelius84

03.11.2017, 20:19

anderson94

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@Chris

Also dann bekäme ich $\begin{eqnarray*} x^{2}+1> \frac{5}{2} x \end{eqnarray*}$ dann könnte ich den Bruch genrell auflösen und wäre wieder bei meinen Ansätzen.. verwirrt

@sibelius84

ich habe mir dazu einfach das Grenzverhalten bei der Intervallaufteilung 1/2<=x<1, und 1<=x<2 und dann sieht man eben dass es bei dem einen Intervall gegen 2 geht und bei dem anderen gegen 5/2, will aber nicht mir Grenzwerten "arbeiten" da man das nicht "darf" haha bzw. bin ich mir sicher, dass es mit einem Ws geht, der Chris hats ja schon nur will der dass ich selber langsam drauf komme Big Laugh

03.11.2017, 20:21

sibelius84

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Da hast du eine latente Gemeinsamkeit zwischen Chris und mir aufgezeigt Augenzwinkern

Ich dachte, wenn du das Ziel vor Augen hast, tappst du vielleicht auf dem Weg nicht so im Dunkeln.

03.11.2017, 20:26

Jefferson1992

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Wir wollen jetzt aus

$\begin{eqnarray*} x^2+1 > \frac{5}{2}x \end{eqnarray*}$ mit Umformungen diesen Ausdruck erreichen: $\begin{eqnarray*} |x-\frac{5}{4}| > \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Das sollte machbar sein :P

03.11.2017, 20:27

sibelius84

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nicht kleiner, sondern grööööößer Rock

03.11.2017, 20:28

Jefferson1992

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Zitat:

Original von sibelius84
nicht kleiner, sondern grööööößer Rock

Wollte doch nur anderson mal testen Augenzwinkern

03.11.2017, 21:11

anderson94

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na dann rechne ich mal naaaaach hahaha

also wenn ich quadratisch ergänzen möchte, kommt raus:

$\begin{eqnarray*} x^{2}-\frac{5}{2}x+1>0 \end{eqnarray*}$

dann ergänze ich mit 25/16 -> $\begin{eqnarray*} x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}-\frac{25}{16} +1>0 \end{eqnarray*}$
dann kommt raus $\begin{eqnarray*} \left(x-\frac{5}{4}\right)^{2} \end{eqnarray*}$ >9/16 jetzt noch die wurzel dann steht da $\begin{eqnarray*} | x-5/4 |>3/4 \end{eqnarray*}$

soo ich danke euch herzlich für die hilfe, manchmal denkt man halt einfach um zu viele ecken anstatt dass man eine einfache quadratische gleichung erkennt.. Freude

03.11.2017, 21:31

Jefferson1992

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perfekt. Passt smile

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