Kardan-Drehmatrix, Drehachse und Winkel bestimmen

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Lady1234 Auf diesen Beitrag antworten »
Kardan-Drehmatrix, Drehachse und Winkel bestimmen
Meine Frage:
Hallo smile Ich bräuchte wieder einmal Hilfe Augenzwinkern
Wir haben die Winkel gegeben und sollen mithilfe der Hintereinanderausführung der Kardanischen Drehmatrizen eine Drehmatrix konstruieren (http://www.itm.uni-stuttgart.de/courses/madyn/Merkblaetter/M08.pdf, ich habe jene Formel übernommen, die dürfte richtig sein, oder? Ich frage nur, weil bei unserem Angabeblatt der Sinus im linken unteren Eck in der zweiten Drehmatrix positiv eingezeichnet ist), den Drehwinkel sowie die Drehachse bestimmen.

Meine Ideen:
Ich bin der Formel gefolgt, habe die Drehmatrix berechnet:
R:=

Nun könnte ich mir den Winkel wahrscheinlich folgendermaßen berechnen:
2 cos() + 1 = trace(R) und der Richtungsvektor der Drehachse kann aus der Matrix abgelesen werden.
Allerdings ist die Determinante meiner Drehmatrix nicht 1 und das wäre ja Voraussetzung, um die gerade genannten Formeln anwenden zu dürfen, oder? Hab ich in der Berechnung was falsch gemacht oder gibt es einen anderen Weg? Bin ich komplett auf dem Holzweg?

Liebe Grüße,
Lady1234
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Lady1234,

um welche Achsen soll jeweils mit den Winkeln alpha, beta, gamma gedreht werden? Vielleicht einfach

?

Grüße
sibelius84

PS: Um den Drehwinkel zu berechnen, musst du dir doch nur irgendeinen beliebigen Vektor (ungleich Null) und seinen Bildvektor nehmen und zwischen diesen beiden den Winkel berechnen.

Determinante 1 sollte bei Drehungen immer rauskommen - wenn nicht, denke ich, dass du dich verrechnet hast.
Lady1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort!
Explizit ist das in der Abgabe leider nicht gegeben. Für meine berechnete Matrix bin ich genau jener Formel gefolgt, die ich im ersten Beitrag als Link angefügt habe.
Ich hatte in meiner letzten Ausführung tatsächlich einen Fehler drinnen, jetzt hab ich ihn behoben (100%, ich habe alles digital nachgeprüft), allerdings ergibt die Determinante immer noch nicht 1, sondern 1/4. Darf ich die Determinante der Drehmatrix einfach mit 4 multiplizieren? Wahrscheinlich nicht, oder? unglücklich
Wenn ich Deiner Formel folge, erhalte ich am Ende leider auch eine Matrix mit Determinante 5/4 (auch digital nachgeprüft) unglücklich

LG
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lady1234
Vielen Dank für deine Antwort!
Explizit ist das in der Abgabe leider nicht gegeben.


Dann kann ich leider nicht weiterhelfen. Evtl. ist die Aufgabe unvollständig?

Zitat:
Darf ich die Determinante der Drehmatrix einfach mit 4 multiplizieren? Wahrscheinlich nicht, oder? unglücklich


Du hast Recht - leider Nein. Jede Matrix, die Längen und Winkel unverändert lässt, hat Determinante vom Betrag 1. Jede Drehmatrix ist orthogonal und orientierungserhaltend und hat mithin Determinante +1.


Zitat:

Wenn ich Deiner Formel folge, erhalte ich am Ende leider auch eine Matrix mit Determinante 5/4 (auch digital nachgeprüft) unglücklich

LG


Dann stimmt mit digital was nicht. Man sieht sehr leicht, dass jede einzelne Matrix Determinante 1 hat (Regel von Sarrus oder Entwickeln nach der Zeile / Spalte, in der nur eine 1 steht). Nun sagt der Determinantenmultiplikationssatz, dass det(AB)=det(A)det(B). Also hat auch das Produkt Determinante 1.
Lady1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfe! smile Hab das Problem gelöst
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