Supremum, Infimum, Min, Max

04.11.2017, 12:12

Kathreena

Supremum, Infimum, Min, Max

Finde das Supremum, Infimum, Min, Maximum falls vorhanden:

$\begin{eqnarray*} A = \left\{ \frac{x}{1+|x|} : x \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

__________________________________________________________

Wie geh ich da eig. vor, Supremum kleinste obere Schranke.
x kann alle Reelenzahlen annehmen, im Teiler hab ich den Betrag von x, heißt das x könnte positiv oder negativ sein ? Aufjedenfall is der Teiler immer größer als der Nenner, also ist A nach oben und nach unten beschränkt.

Nur wie find ich nun heraus, wogenau die Schranke ist?, der Teiler darf nie 0 ergeben, also is die Schranke dann bei x =-1 ?

Und wenn x = 0, dann ist alles 0, nur was sagt mir das.

04.11.2017, 12:27

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{align*} f(x) := \frac{x}{1+|x|} \end{align*}$ ist eine ungerade Funktion, d.h., es gilt $\begin{align*} f(-x)=-f(x) \end{align*}$ für alle reellen $\begin{align*} x \end{align*}$ .

Daher kann man sich zunächst darauf konzentrieren, den Funktionsverlauf für $\begin{align*} x\geq 0 \end{align*}$ zu analysieren: Es ist dort

$\begin{align*} f(x) = \frac{x}{1+x} = \frac{1+x-1}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x} \end{align*}$ ,

an letzterer Darstellung kann man leicht erkennen, dass $\begin{align*} f \end{align*}$ da streng monoton wachsend ist. Neben $\begin{align*} f(0)=0 \end{align*}$ gilt dann noch

$\begin{align*} \lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} \left( 1 - \frac{1}{1+x} \right) = 1 \end{align*}$ .

Was bedeutet das nun für den Wertebereich im Teilbereich $\begin{align*} x\geq 0 \end{align*}$ ? Und welche Schlußfolgerungen kann man daraus für $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ ziehen angesichts der Ungeradheit $\begin{align*} f(-x)=-f(x) \end{align*}$ ?

04.11.2017, 12:41

Kathreena

Auf diesen Beitrag antworten »

Das bedeutet, das x niemals größer als 1 werden kann. Also ist das Supremum von A = 1

Und das Infimum dann logischerweiße, A=-1

Wie finde ich nun heraus ob Supremum ebenfalls Maximum ist ?

Und Infimum auch Minimum ?

Maximum und Minimum müssen sich ja in der Menge befinden. Befindet sich aber 1 wirklich in der Menge ? Weil x $\begin{eqnarray*} \to \infty \end{eqnarray*}$ ist ja keine Zahl.

04.11.2017, 12:41

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zur besseren Übersicht kann zunächst ein Graph dieser Funktion erstellt werden.
Dann sieht man bereits alles ...

Hinweis zur Rechnung (Beispiel):

Sei $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ eine obere Schranke, dann ergibt sich die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac x {1 + |x|} \leq s \end{eqnarray*}$

Fallunterscheidung: x positiv , x negativ ...
a)
Für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac x {1+x} = 1 - \frac 1 {x+1} \end{eqnarray*}$

Was passiert, wenn $\begin{eqnarray*} x \to +\infty \end{eqnarray*}$ geht?
...

EDIT: Ach, für die Antwort zu lange gebraucht ..

mY+

04.11.2017, 13:54

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kathreena
Wie finde ich nun heraus ob Supremum ebenfalls Maximum ist ?

Nachdenken!!! Der Grenzwert im Unendlichen ist 1, und vorher ist die Funktion streng (!!!) monoton wachsend. Ist es bei dieser Konstellation denkbar, dass f(x)=1 für ein reelles Argument x gilt?

05.11.2017, 10:38

Kathreena

Auf diesen Beitrag antworten »

Da unendlich nach oben unbeschränkt ist, denke ich nein es gibt kein Maximum in der Funktion.

Gleiches gilt für Minimum. Außerdem müssste nach einem Maximum sich ja die Richtung ändern, also ab dem Punkt f(x) = 1, müsste f(x) immer kleiner werden.

Aber das is nich der Fall, also gibts kein Max, Min.

05.11.2017, 10:45

sibelius84

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Kathreena,

scheint soweit alles zu stimmen, wobei der Satz, dass "unendlich nach oben unbeschränkt" sei, etwas merkwürdig ist Augenzwinkern

Aber der Rest ist stimmig.

Grüße
sibelius84

05.11.2017, 11:11

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

1 ist die kleinste obere Schranke und (ein rechtsseitiger) Grenzwert der Funktion.
Der Graph erreicht die Gerade y = 1 aber nicht, weil die Funktionswerte stets kleiner sind als 1.
Die Gerade y = 1 ist geometrisch eine Asymptote.

mY+

07.11.2017, 11:18

Kathreena

Auf diesen Beitrag antworten »

Noch ne Frage, wie hast du die Funktion gezeichnet ?

so ?
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{1+\sqrt{x^2} } \end{eqnarray*}$

Ich komm nich drauf.

Also wenn ich nur für $\begin{eqnarray*} |x| \geq 0 \end{eqnarray*}$ zeichnen wollen würde, wie würd ich das schreiben ?

Aso habs schon, einfach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x} \end{eqnarray*}$ und nur den Bereich $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq \infty \end{eqnarray*}$ betrachten

07.11.2017, 11:25

sibelius84

Auf diesen Beitrag antworten »

x=1 einsetzen
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{1+\lvert x \rvert} = \frac{1}{1+\lvert 1 \rvert} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow P\left(1 \mid \frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ gehört zum Graph.

x=2 einsetzen
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{1+\lvert x \rvert} = \frac{2}{1+\lvert 2 \rvert} = \frac{2}{1+2} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow Q\left(2 \mid \frac{2}{3}\right) \end{eqnarray*}$ gehört zum Graph.

x=-1 einsetzen
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{1+\lvert x \rvert} = \frac{-1}{1+\lvert -1 \rvert} = \frac{-1}{1+1} = -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow R\left(-1 \mid -\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ gehört zum Graph.

x=-2 einsetzen
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{1+\lvert x \rvert} = \frac{-2}{1+\lvert -2 \rvert} = \frac{-2}{1+2} = -\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow S\left(-2 \mid -\frac{2}{3}\right) \end{eqnarray*}$ gehört zum Graph.

Mit der offensichtlichen Tatsache f(0)=0 hast du damit bereits eine Wertetabelle mit 5 Einträgen und mithin schon mal 5 Punkte im Koordinatensystem, die man bereits zu einer schönen Kurve verbinden könnte. smile

PS:
Wenn du nur für |x| >= 0 zeichnen willst, ändert sich nichts, denn |x| >= 0 gilt immer. Es bleibt dann also alles so, wie es ist.
Nun rate ich mal, dass du x >= 0 meintest. Dann würde sich der Term in der Tat vereinfachen zu

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{1+x} \end{eqnarray*}$ bzw.

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{1+x} \end{eqnarray*}$ .

LG
sibelius84

07.11.2017, 11:29

Kathreena

Auf diesen Beitrag antworten »

danke

Neue Frage »

Antworten »

Supremum, Infimum, Min, Max

Verwandte Themen