Entwicklung Differenzenrechnung

04.11.2017, 17:00

FelNa1109

Entwicklung Differenzenrechnung

Hi, ich soll die Differenzenrechnung für den Rückwärtsdifferenzenoperator $\begin{eqnarray*} (\nabla f)(n)=f(n)-f(n-1) \end{eqnarray*}$ entwickeln, und zwar:

b)Was ist $\begin{eqnarray*} \sum x^n , n \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ? (gemeint ist die fallende Faktorielle)

Die anderen Aufgaben aus dem Block waren eigentlich verhältnismäßig sehr einfach, ich brauch bei der b) denke ich nur einen kleinen Denkanstoß. Danke

04.11.2017, 18:02

FelNa1109

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Also ich bekomme das irgendwie nur für die steigende Faktorielle hin...

$\begin{eqnarray*} \nabla \frac{x^{n+1}}{n+1} =\frac{1}{n+1} [x^{n+1} - (x-1)^{n+1}] =\frac{1}{n+1}[ (x+n)x^n - (x-1)x^n] = \frac{1}{n+1}x^n(x+n-x+1) = x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum x^n = \frac{x^{n+1}}{n+1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\neq -1 \end{eqnarray*}$

04.11.2017, 19:11

sibelius84

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Hallo FelNa1109,

habe mich gerade mal einen Moment damit auseinandergesetzt und ich vermute, es ist tatsächlich kein Zufall: der Vorwärtsdifferenzen-Operator ist für die fallende und der Rückwärtsdifferenzen-Operator für die steigende Faktorielle relativ einfach, wohingegen die umgekehrte Kombination schwierig ist.

Hast du es schon mal mit dem Vorwärtsdifferenzen-Operator probiert?

Grüße
sibelius84

04.11.2017, 19:22

FelNa1109

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Mit dem Vorwärtsdifferenzenoperator hab ich es wie gesagt blos für die fallende gemacht.

04.11.2017, 19:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von FelNa1109
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} [x^{n+1} - (x-1)^{n+1}] =\frac{1}{n+1}[ (x+n)x^n - (x-1)x^n] \end{eqnarray*}$

Was bedeutet bei dir hier "=" ? Erstaunt1

Ich sehe hier allenfalls ein

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} [x^{n+1} - (x-1)^{n+1}] = x^n + O(x^{n-1}) \end{eqnarray*}$

mit entsprechenden Landau-Symbol für $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ .

04.11.2017, 20:22

sibelius84

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Ach ja stimmt, das wollte ich eigentlich auch noch geschrieben haben @FelNa1109:

Du bekommst die fallende Faktorielle $\begin{eqnarray*} x^{\underline{n}} \end{eqnarray*}$ mit dem Code x^\underline{n}, und entsprechend x^\overline{n}.

In deinem Initialbeitrag hattest du das mit dem Rückwärtsdifferenzen-Operator gemacht und das hatte ja für die fallende Faktorielle nicht geklappt, meiner Vermutung nach kein Zufall. Versuch mal es mal 'vorwärts'.

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