Produktzeichen - Formel finden

04.11.2017, 18:05

Ricket

Produktzeichen - Formel finden

Guten Abend,

ich habe da mit einer Aufgabe meine Probleme und hoffe mir kann da jemand helfen.
ich beschäftige mich das erste mal mit so etwas.
Meine Frage:
kann ich den Anfang überhaupt so machen und ich komm halt am ende nicht wirklich weiter.

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{j=2}^{n} 1 - \frac{1}{j^{2} } \end{eqnarray*}$ n Element N, n >=2
Aufgabe: Gebe eine einfache Formel für den Term an.

mein Lösungsansatz

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{j=2}^{n} \frac{j + 1}{2j} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{((2+1)*(3+1)*(4+1)*...*(n-1) * n * (n+1)}{(2*2)*(3*2)*(4*2)*..* (2(n-1)) * n} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{3*4*5*...* (n+1)}{4*6*8* ?} \end{eqnarray*}$ --> hier wollt ich kürzen

vielen Dank schonmal smile

04.11.2017, 18:10

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ricket
mein Lösungsansatz

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{j=2}^{n} \frac{j + 1}{2j} \end{eqnarray*}$

Warum betrachtest du dieses Produkt statt des eigentlich anstehenden? unglücklich

Für das gilt

$\begin{align*} \prod\limits_{j=2}^{n} \left(1 - \frac{1}{j^2}\right) = \prod\limits_{j=2}^{n} \frac{j^2-1}{j^2} = \prod\limits_{j=2}^{n} \frac{(j-1)(j+1)}{j^2} \end{align*}$ ,

das kann man jetzt mit Fakultäten schreiben und kürzen bis zum Abwinken - viel bleibt dann nicht mehr übrig. Augenzwinkern

04.11.2017, 18:32

Ricket

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja macht Sinn :-S

Ich muss sagen, Fakultäten bereiten mir auch noch ordentlich Probleme. Mir fällt gerade nichts ein, wie ich das als Fakultät schreiben kann :/

04.11.2017, 18:37

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist

$\begin{align*} \prod\limits_{j=2}^{n} \frac{(j-1)(j+1)}{j^2} = \frac{\prod\limits_{j=2}^{n}(j-1) \cdot \prod\limits_{j=2}^{n} (j+1)}{\left( \prod\limits_{j=2}^{n} j\right)^2} \end{align*}$

wobei

$\begin{align*} \prod\limits_{j=2}^{n} (j-1) &= \prod\limits_{k=1}^{n-1} k = (n-1)!<br /> \prod\limits_{j=2}^{n} (j+1) &= \prod\limits_{k=3}^{n+1} k = \frac{(n+1)!}{2}<br /> \prod\limits_{j=2}^{n} j &= n! \end{align*}$

Damit kommt insgesamt heraus $\begin{align*} \frac{(n-1)!\cdot \frac{(n+1)!}{2}}{n!^2} = \frac{n+1}{2n} \end{align*}$ .

04.11.2017, 19:05

Ricket

Auf diesen Beitrag antworten »

Tausend Dank smile

eine Frage hab ich noch dazu.

Wenn ich das letzte unten auflöse, komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!*(n-1)*n!*(n+1)}{2*(n!*n!*(n-1)*(n-1)} \end{eqnarray*}$

und wenn ich kürze dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2*(n-1)} \end{eqnarray*}$

Wo liegt da mein Denkfehler?

04.11.2017, 19:11

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ricket
Wo liegt da mein Denkfehler?

Vielleicht begründest du mal deine äußerst merkwürdigen Faktoren! Erstaunt1

Meine Umformung basiert schlicht auf einmal $\begin{align*} (n+1)!=(n+1)\cdot n! \end{align*}$ im Zähler sowie $\begin{align*} n!=n\cdot (n-1)! \end{align*}$ für eines der beiden $\begin{align*} n! \end{align*}$ im Nenner.

04.11.2017, 19:33

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Als Schüler hätte ich das Produkt vielleicht so aufgeschrieben

$\begin{eqnarray*} \prod_{j=2}^n1-\frac 1{j^2}=\prod_{j=2}^n\frac {j^2-1}{j^2}=\prod_{j=2}^n\frac {(j+1)(j-1)}{j^2}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac {3\cdot 1}{2\cdot 2}\cdot \frac {4\cdot 2}{3\cdot 3}\cdot \frac {5\cdot 3}{4\cdot 4}\cdot \frac {6\cdot 4}{5\cdot 5}\cdot ... \frac {(n-2)\cdot (n-4)}{(n-3)\cdot (n-3)}\cdot \frac {(n-1)\cdot (n-3)}{(n-2)\cdot (n-2)}\cdot \frac {n\cdot (n-2)}{(n-1)\cdot (n-1)}\cdot \frac {(n+1)\cdot (n-1)}{n\cdot n} \end{eqnarray*}$

und dann hätte ich vielleicht gesehen, dass die Nenner ab dem zweiten bis zum vorletzten Bruch links und rechts davon im Zähler stehen. Vielleicht wäre ich auch zu faul gewesen, das aufzuschreiben, oder ich hätte es nicht gesehen oder ich hätte nicht gewusst, wie man kürzt ... alles ist möglich.

Jedenfalls hat HAL 9000 wie immer recht, ein Supercomputer kann sich ja nicht verrechnen. Augenzwinkern

04.11.2017, 19:38

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis
Jedenfalls hat HAL 9000 wie immer recht, ein Supercomputer kann sich ja nicht verrechnen. Augenzwinkern

Dave Bowman hatte das vor knapp 50 Jahren anders gesehen und mich abgeschaltet. traurig