Zeigen Sie dass 2n^ 3 + 3n^2+n durch 6 teilbar ist

04.11.2017, 22:50	M3alma	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen Sie dass 2n^ 3 + 3n^2+n durch 6 teilbar ist Meine Frage: Zeigen Sie durch vollständige Induktion: Für jede naturliche Zahl n ist 2n^3 +3n^2+n durch 6 teilbar ist Meine Ideen: Beweistechnik/Info: Beweis durch vollständige Induktion Induktionsvoraussetzung: Für alle n gilt n∈ N zu zeigen: 2n^3 +3n^2+n ist durch 6 teilbar Induktionsanfang: n=0:20^3+30^2+0=0 ist durch 6 teilbar Induktionsannahme: 2n^3+3n^2+n ist durch 6 teilbar Induktionsschritt: n->n+1: =2(n+1)^3+3(n+1)^2+(n+1) =2(n+1)(n+1)(n+1)+3(n+1)(n+1)+(n+1) =2(n^2+2n+1)(n+1)+3(n^2+2n+1)+(n+1) =(2n^2+4n+2)(n+1)+(3n^2+6n+3)+(n+1) =2n^3+2n^2+4n^2+4n+2n+2+3n^3+3n^2+6n^2+6n+3n+3 =5n^3+15n^2+15n+5 es das richtig?
04.11.2017, 22:59	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich glaube, die ersten 4 Zeilen des Induktionsschlusses sind richtig und dann kommen Fehler rein. Ich glaube, da stehen einfach Terme, die da nicht stehen dürften. Hast du das "+" mit einem "·" verwechselt? Grüße sibelius84
04.11.2017, 23:12	M3alma	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich hab nicht verwechselt aber ich bin nicht sicher ob es richtig ist. Bestimmt hab ich fehler gemacht da am ende so was 5n^3+15n^2+15n+5 rauß kam und das es nicht durch 6 teilbar ist.
05.11.2017, 01:14	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
In den Induktionsbeweis ist ja immer auch die Induktionsannahme "einzubauen", das hast du hier noch nicht getan. Ich würde aus der Induktionsbehauptung zunächst mal n ausklammern: Beh.: $\begin{eqnarray} 6 \ \| \ n(2n^2 + 3n + 1) \end{eqnarray}$ ---------------------------------------------- a) $\begin{eqnarray} n = 1\ \to \ 6\| \ 6; \quad n = 2\ \to \ 6\| \ 30 \end{eqnarray}$ b) IA: $\begin{eqnarray} 6 \ \| \ n(2n^2 + 3n + 1) ; \ n \to n+1 \end{eqnarray}$ Zu zeigen: $\begin{eqnarray} 6\| \ (n+1)(2n^2 + 4n + 2 + 3n + 3 + 1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 6\| \ (n+1)(2n^2 + 7n + 6) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 6\| \ n(2n^2 + 7n + 6) + 2n^2 + 7n + 6 \end{eqnarray}$ Nun ändere den Term in der Klammer so, dass damit die IA entsteht, die überzähligen Summanden schreibe daneben und vereinfache! $\begin{eqnarray} 6\| \ n(2n^2 + 3n + 1) + 4n^2 + 5n + 2n^2 + 7n + 6 \end{eqnarray}$ Jetzt ist zu "qed" nicht mehr weit! mY+ P.S.: Ich denke, wir werden deinen Doppelaccount iQMV löschen.

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