Nullstellen bei Gleichung 3. Grades

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Johann001 Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen bei Gleichung 3. Grades
Hallo,

ich bin gerade bei Nullstellen berechnen von Funktionen.

Nun habe ich folgende Funktion ich komme einfach nicht auf die Nullstellen:



weder faktorisieren noch die p/q Formel funktionieren - geht das nur mehr mit einer polynomdivision?
Oder stehe ich auf dem Schlauch Augenzwinkern

Für einen Tip wäre ich Euch sehr dankbar.

Gruß
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

du hast Recht - da hilft wohl nur noch Polynomdivision. Die Cardanischen Formeln gäbe es auch noch, aber da wird Polynomdivision zu bevorzugen sein. Ein nettes Mittelchen, mit dem man effizient und platzsparend Funktionswerte einsetzen kann und das Restpolynom der Polynomdivision direkt mitgeliefert bekommt, ist übrigens das Horner-Schema.

Man probiert als Nullstellen grundsätzlich zunächst die (positiven und negativen) Teiler des Absolutgliedes.

LG
sibelius84
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

.. mit einer Polynomdivision auch nur dann, wenn eine der Nullstellen bekannt ist!
Eine ganzzahlige Nullstelle ist muss Teiler von 108 sein .. (warum?)



Eine Hilfe, womit man versuchen kann, bestimmte Stellen einzusetzen, ist allemal ein Plot.

Oft geht es auch einfach mit einer geschickten Zerlegung des Mittelgliedes(!)
Schreibe die Gleichung einmal als



Siehst du es schon?

mY+
Johann001 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten, plot hatte ich schon gemacht, aber wir sollten es rechnerisch lösen.
@mYthos: Nein leider erkenne ich da noch nichts - Binomische Formel ist es ja nicht ?

Gruß
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Durch diese Umformung kannst du "sehen", welche Nullstelle die Funktion hat.




Für ein bestimmtes x.

Und in der ersten Gleichung siehst du schon welches, wenn du genau hinschaust.

Wenn du Mythos Beitrag beachtest und dir überlegst, warum die Nullstelle ein Teiler von 108 sein muss.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

...oder du erkennst anhand des Plots, welche Nullstelle du "erraten" und anhand dessen, welches Polynom du abdividieren könntest.
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@Jefferson: Die Gleichung NICHT zerteilen, sondern (x+3) aus dem ganzen Term ausklammern!
@Johann





EDIT: Schreibfehler korrigiert.



Jetzt?

mY+
Johann001 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja jetzt ist es mir klar, aber wie kommt man darauf dass man -9x wieder aufteilt auf +3x und -12x ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Johann001
wie kommt man darauf


siehe hier
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein kleiner Vorzeichenfehler hat sich noch eingeschlichen: Die (bislang) letzte Zeile der Umformung lautet

.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Johann001
Ja jetzt ist es mir klar, aber wie kommt man darauf dass man -9x wieder aufteilt auf +3x und -12x ?


Hallo zusammen,

zunächst mal meine volle Zustimmung für den verlinkten Beitrag @Leopold, wenn es um Beweise geht. (Ergänzend sag ich nur: Einfach mal die Definition aufschreiben und scharf angucken, reicht manchmal schon und selbst das machen viele nicht.) Gerade hier besteht aber meiner Meinung nach durchaus noch etwas Spielraum für 'algorithmische' Erklärungen:

Es mag Gleichungen geben, bei denen sich solche Ansätze förmlich aufdrängen. Etwa für
:

.

Es ist gut, wenn man so etwas auf dem Schirm hat und mal probiert. Häufig reicht es aber auch, wenn man weiß und benutzt, dass man die positiven und negativen Teiler des Absolutgliedes ausprobieren sollte. Mein persönlicher Favorit hierfür ist ja das Horner-Schema, schmerzloses, wenig fehleranfälliges Rechnen mit eingebauter Polynomdivision:
https://www.mathebibel.de/horner-schema (oder selber googeln)
In dem Beitrag wird leider nicht erwähnt, dass man das Horner-Schema auch zum Ausprobieren / Berechnen der Funktionswerte benutzen kann.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Johann001
Ja jetzt ist es mir klar, aber wie kommt man darauf dass man -9x wieder aufteilt auf +3x und -12x ?

Nein, , das ursprüngliche Mittelglied wird umgehend zerlegt.
Man zerlegt es derart, dass sowohl mit dem linken als auch mit dem rechten Term eine Art "Verwandtschaft" besteht.
Diese soll in der Folge eine Faktorisierung bzw. das Ausklammern gleicher Terme - wie hier (x + 3) - zum Ziel haben.

mY+
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