Direkter Beweis Gleichung

05.11.2017, 10:47

Kathreena

Direkter Beweis Gleichung

Gesucht ist der Direkte Beweis:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n-1 \\ k-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n-1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n,k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n > k \geq 1 \end{eqnarray*}$

___________________________________________________

Kanns sein das die Gleichung nicht korrekt ist, komme beim Umformen mit dem binomialkoeffizenten nämlich nicht aufs Ergebnis. Und auch wenn ich für n = 4 und für k = 1 einsetze, kommt ja schonmal nicht das gleiche heraus.

05.11.2017, 10:53

sibelius84

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Direkter Beweis Gleichung

Zitat:

Original von Kathreena
Gesucht ist der Direkte Beweis:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n-1 \\ k-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n-1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = 1+3=4 \end{eqnarray*}$

Die Gleichung ist korrekt. Fang am besten auf der rechten Seite an. Schreibe die Definition beider Binomialkoeffizienten hin und klammere das maximal Mögliche aus. Dann müsstest du so umformen können, dass am Ende n über k rauskommt.

Alternative:
Führe die Behauptung durch äquivalente Umformungen auf eine wahre Aussage zurück (Definitionen einsetzen, mit (k-1)! multiplizieren, durch (n-1)! teilen und schauen, was übrigbleibt)

05.11.2017, 11:10

Kathreena

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach da gibts andere Rechenregeln, hab sie so wie Vektoren Addiert, deswegen kam dann nich das gleiche raus.

Aufjedenfall, mit Binomialkoeffizenten kam ich bis folgenden Punkt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n-1 \\ k-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n-1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!} = \frac{(n-1)!}{(k-1)!\cdot(n-1-k+1)!} + \frac{(n-1)!}{k!\cdot(n-1-k)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!} = \frac{(n-1)!}{(k-1)!\cdot(n-k)!} + \frac{(n-1)!}{k!\cdot(n-k-1)!} \end{eqnarray*}$

Dann könnte ich wahrscheinlich etwas rauskürzen, in (n-1)! steckt sicher (n-k)! drinn, nur leida hab ich nie mit fakultäten gerechnet..

05.11.2017, 11:39

Jefferson1992

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Fakultäten rechnen ist auch gar nicht so einfach.

Nimm dir mal ein einfaches Beispiel:

$\begin{eqnarray*} n!= 10! = 1*2*3*...*10<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k!= 5! = 1*2*...*5 \end{eqnarray*}$

Wenn du dir jetzt überlegst, was $\begin{eqnarray*} (n-k)! \end{eqnarray*}$ dann wäre, wie würdest du dann kürzen?

Also:

$\begin{eqnarray*} (10-5)! = ... \end{eqnarray*}$

Was wäre dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{k!*(n-k)!} \end{eqnarray*}$

05.11.2017, 11:53

sibelius84

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Direkter Beweis Gleichung
Hallo Kathreena,

ok, wie Vektoren kann man damit natürlich nicht rechnen, obwohl der LaTeX-Code häufig der selbe ist Augenzwinkern

Du hast doch deine Gleichung mit den Definitionen jetzt sauber aufgeschrieben. Dann sind wir im Prinzip wieder am Punkt: mit (k-1)! multiplizieren, durch (n-1)! teilen, mit (n-k-1)! multiplizieren und schauen, was übrigbleibt. Es gilt ja für alle natürlichen r die Regel

$\begin{eqnarray*} r!=r(r-1)! \end{eqnarray*}$ .

Wenn du das anwendest und alles wegkürzt, was geht, dann wird das ziemlich "schlank" sein, was übrig bleibt - wenn nicht gar trivial. smile

Grüße
sibelius84

05.11.2017, 11:56

Jefferson1992

Auf diesen Beitrag antworten »

@Sibelius84

Bist ja doch noch da smile

Sorry, dachte du wärst fort.
Bin raus smile

05.11.2017, 12:23

Kathreena

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{k! (n-k)!} = \frac{(n-k+1)\cdot (n-k+2)\cdot \dots \cdot (n-1)\cdot n}{k!} = \frac{(n-k+1)\cdot (n-k+2)\cdot \dots \cdot (n-1)\cdot n}{(k-1)!\cdot k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)!}{(k-1)!\cdot(n-k)!} = \frac{(n-k+1)\cdot (n-k+2)\cdot \dots \cdot (n-2)\cdot (n-1)}{(k-1)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)!}{k!\cdot(n-k-1)!} = \frac{(n-k) \cdot (n-k+1) \dots \cdot (n-2) \cdot (n-1)}{k!} = \frac{(n-k) \cdot (n-k+1) \dots \cdot (n-2) \cdot (n-1)}{(k-1)! \cdot k} \end{eqnarray*}$

______________________________________________________________________

$\begin{eqnarray*} \frac{(n-k+1)\cdot (n-k+2)\cdot \dots \cdot (n-1)\cdot n}{(k-1)!\cdot k} = \frac{(n-k+1)\cdot (n-k+2)\cdot \dots \cdot (n-2)\cdot (n-1)}{(k-1)!} + \frac{(n-k) \cdot (n-k+1) \dots \cdot (n-2) \cdot (n-1)}{(k-1)! \cdot k} \end{eqnarray*}$

Dann multipliziere ich überall mit $\begin{eqnarray*} (k-1)! \cdot k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n-k+1) \cdot (n-k+2) \dots (n-1) \cdot n = ((n-k+1)\cdot (n-k+2) \dots (n-2) \cdot (n-1))\cdot k + (n-k) \cdot (n-k+1) \dots (n-2) \cdot (n-1) \end{eqnarray*}$

Dann dividieren durch $\begin{eqnarray*} (n-k+1) \dots (n-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n = k + (n-k) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n = n \end{eqnarray*}$

05.11.2017, 14:08

Jefferson1992

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, kann man so machen. smile

05.11.2017, 14:10

Kathreena

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum sagst du das, war mein Weg etwas sehr umständlich ?

05.11.2017, 14:13

Jefferson1992

Auf diesen Beitrag antworten »

naja, es reicht, wenn du die rechte Seite umformst und die linke kriegst. Das geht ein bisschen schneller.

Also das du am Ende da stehen hast:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

05.11.2017, 14:23

Kathreena

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wie, ich fange ja an zu kürzen, und dann fällt das Fakultätszeichen ja weg, und ich kanns niemehr mit dem binomialkoeffizienten umformen.

05.11.2017, 15:01

Jefferson1992

Auf diesen Beitrag antworten »

Ausgangssituation:
$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)!}{(k-1)!\cdot(n-k)!}+\frac{(n-1)!}{k!\cdot (n-k-1)!} \end{eqnarray*}$

Jetzt versuch mal (n-k)! und (n-1)! und (n-k-1)! und (n-1)! zu kürzen.
Kriegst du das hin? smile

PS: Hast übrigens eine PN von mir, falls du es noch nicht bemerkt hast smile

06.11.2017, 13:31

Kathreena

Auf diesen Beitrag antworten »

Habs schon, danke für die Hife.

Neue Frage »

Antworten »

Direkter Beweis Gleichung

Verwandte Themen