Hypothesentest, Vertrauensintervall, Normalverteilung

05.11.2017, 11:10

Jefferson1992

Hypothesentest, Vertrauensintervall, Normalverteilung

Hallo ihr Lieben,

Ich gebe derzeit einer Schülerin der 13. Klasse LK Nachhilfe und sie hat eine HÜ geschrieben, die ich mit ihr durchgehen soll. Leider ist meine Schulzeit etwas her und ich erinnere mich nicht daran jemals Vertrauensintervalle gemacht zu haben.

Es wäre total lieb, wenn ihr mit mir die 3 Aufgaben der HÜ durchgehen würdet.

Aufgabe 1 ist folgende:

2% der deutschen Gesamtbevölkerung sind an XYZ erkrankt. Eine Bürgerinitiative hat die Vermutung, dass in A-Stadt aufgrund von Abgasen einer Industrieanlage XYZ häufiger vorkommt als im Bundesdurchschnitt. Dies soll durch einen Hypothesentest auf dem Signifikanzniveau $\begin{eqnarray*} \alpha = 5% \end{eqnarray*}$ belegt werden. Dazu werden 50 zufällig ausgewählte der 50000 Einwohner von A-Stadt getestet.

a) Stelle Null- und Alternativhypothese auf, bestimme Annahme- und Ablehnungsbereich.
b) Erläutere anhand der Annahme, dass in A Stadt tatsächlich 5% aller Einwohner an XYZ erkrankt sind, was in diesem Sachzusammenhang unter einem Fehler zweiter Art zu verstehen ist und bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür.

Zur a):

$\begin{eqnarray*} H_0 = p\leq 2% \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} H_0 = p\leq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} H_1 = p > 2% \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} H_1 = p > 1 \end{eqnarray*}$

Für den Annahmebereich:
Da bin ich mir nicht mehr so ganz sicher.

Habe folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} 1- P(50, 0,98) < 0,05 \end{eqnarray*}$
Kam dann 4 raus. Würde in meinem Fall bedeuten:

Annahmebereich: $\begin{eqnarray*} p = \left\{1,2,3,4\right\} \end{eqnarray*}$
Ablehnungsbereich: $\begin{eqnarray*} p = \left\{5,...,50\right\} \end{eqnarray*}$

Kann man das so machen?

zur b):
Wenn tatsächlich 5% aller Einwohner von A-Stadt an XYZ erkrank sind, ist $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ eigentlich richtig, obwohl wir weges des Signifikanzniveaus angenommen haben, dass $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$ stimmt. $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$ ist also angenommen worden, obwohl $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ stimmt. Das nennt man Fehler zweiter Art.

Bei der Wahrscheinlichkeit bin ich mir jetzt auch nicht sicher, da ich mich nicht erinnern kann, jemals diese Wahrscheinlichkeit ausgerechnet zu haben.
Aber wenn $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$ als richtig angenommen wird, obwohl es falsch ist, muss ja irgendwas beim Ablehnungsbereich problematisch sein. Deswegen habe ich folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} P_{0,05}(5\leq x \leq 50) \end{eqnarray*}$

Also 5% als "neue" Wahrscheinlichkeit, da 5% erkrankt sind.

Dann konnte man das irgendwie zu dem hier umformen:

$\begin{eqnarray*} P(x\leq 50) -P(x\leq 4) \end{eqnarray*}$ Warum?

$\begin{eqnarray*} = 1-0,8964 =0,1036 = 10,36% \end{eqnarray*}$

Vielen lieben Dank für die Hilfe. Ich weiß, es ist viel Text.. sorry..
Aber ich merke bei der Nachhilfe, was ich alles nochmal wiederholen sollte verwirrt

06.11.2017, 10:37

Huggy

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RE: Hypothesentest, Vertrauensintervall, Normalverteilung

Zitat:

Original von Jefferson1992
Zur a):

$\begin{eqnarray*} H_0 = p\leq 2% \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} H_1 = p > 2% \end{eqnarray*}$

Das ist richtig. Der oder-Teil bei dir ist mir unverständlich. Deine restliche Rechnung ist von der Schreibweise her diffus. Es sei $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ die Zahl der Erkrankten, die in der Stichprobe gefunden werden. Der Annahmebereich für $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} k \leq k_g \end{eqnarray*}$ , der Ablehnungsbereich entsprechend $\begin{eqnarray*} k \geq k_g+1 \end{eqnarray*}$ . Die Grenze $\begin{eqnarray*} k_g \end{eqnarray*}$ bestimmt sich dann aus

$\begin{eqnarray*} P(k \geq k_g+1)=1-P(k \leq k_g)<0.05 \end{eqnarray*}$

oder umgeformt

$\begin{eqnarray*} P(k \leq k_g)=\mathcal B(k_g|50;0.02)>0.95 \end{eqnarray*}$

Dabei soll $\begin{eqnarray*} \mathcal B(x|50;0.02) \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung mit den Parametern $\begin{eqnarray*} n=50 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p=0.02 \end{eqnarray*}$ sein. Man findet

$\begin{eqnarray*} \mathcal B(2|50;0.02) \approx 0.922 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathcal B(3|50;0.02) \approx 0.982 \end{eqnarray*}$

Es ist daher $\begin{eqnarray*} k_g=3 \end{eqnarray*}$ und der Annahmebereich gleich $\begin{eqnarray*} k \in \{0, 1,2,3\} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

zur b):Wenn tatsächlich 5% aller Einwohner von A-Stadt an XYZ erkrank sind, ist $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ eigentlich richtig, obwohl wir weges des Signifikanzniveaus angenommen haben, dass $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$ stimmt. $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$ ist also angenommen worden, obwohl $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ stimmt. Das nennt man Fehler zweiter Art.

Das ist richtig. Die Umsetzung in eine Formel ist kurz und schmerzlos:

$\begin{eqnarray*} \beta=P(k \leq k_g|p\geq 0.05)=\mathcal B(3|50;0.05) \approx 0.760 \end{eqnarray*}$

Der $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ -Fehler ist also recht groß.

06.11.2017, 13:09

Jefferson1992

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Ich danke dir!

Also zu dem Oder:

Habe $\begin{eqnarray*} 50 \cdot 0,02 \end{eqnarray*}$ gerechnet und das ist 1. Und da ja 2 % angegeben ist, dürfte im Nullhypothesenfall nur 1 Mensch erkrankt sein.

Ich habe durchaus das gleiche gemacht wie du, nur falsch abgelesen.. Habe gerade nochmal geschaut und ich käme auch auf 3 als kritischen Wert.

Also Annahme alles bis 3.

Bei dem $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ Fehler muss ich also einfach bei meinem kritischen Wert den Wert ablesen und bin durch?

Danke!

Zur 2. Aufgabe:

Auch in B-Stadt wurde mit einer Stichprobe der 100000 Einwohner die Häufigkeit von XYZ Erkrankungen untersucht. Dabei tauchte folgende Rechnung auf:

$\begin{eqnarray*} (0,03-p)² = \frac{1,96^2\cdot p(1-p)}{1000} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 10038,416p^2-638,416p+9=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_1 = 0,02109408024 und p_2 = 0,04250291975 \end{eqnarray*}$

Was wurde hier bestimmt? Wie groß war die Stichprobe und was war das Stichprobenergebnis? Deute das Ergebnis der Rechnung im Sachzusammenhang.

Ja, da war ich leider überfragt, da ich das in meinem LK damals nicht gemacht habe.
Meine Nachhilfeschülerin sagte, dass das eine Punktschätzung ist und dann das Vertrauensintervall ausgerechnet wird. Habe mich dann mal ein wenig eingelesen und herausgefunden, was die einzelnen Ausdrücke bedeuten:

1,96 ist ja Sigmaschreibweise von 95%.
$\begin{eqnarray*} p\cdot (p-1) \end{eqnarray*}$ dürfte die Standardabweichung sein, da hier ja scheinbar auf beiden Seiten quadriert wurde.
1000 sollte n sein.

Wer kann mir jetzt kurz und knackig erklären, was es mit dem Vertrauensintervall auf sich hat und was mir die p-Werte jetzt aussagen. Bin da etwas überfordert.. Sorry!

06.11.2017, 15:46

Huggy

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Zitat:

Original von Jefferson1992
Habe $\begin{eqnarray*} 50 \cdot 0,02 \end{eqnarray*}$ gerechnet und das ist 1. Und da ja 2 % angegeben ist, dürfte im Nullhypothesenfall nur 1 Mensch erkrankt sein.

Verstehe das jetzt. Man sollte aber dasselbe Symbol (hier $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ) in einem Zusammenhang nicht in unterschiedlicher Bedeutung benutzen.

Zitat:

Bei dem $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ Fehler muss ich also einfach bei meinem kritischen Wert den Wert ablesen und bin durch?

Das ist eine ziemlich mystische Formulierung. Du musst die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, mit der das beobachtete $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ unter der Annahme $\begin{eqnarray*} p=0.05 \end{eqnarray*}$ sich im Annahmebereich von $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$ befindet.

Zitat:

Auch in B-Stadt wurde mit einer Stichprobe der 100000 Einwohner die Häufigkeit von XYZ Erkrankungen untersucht. Dabei tauchte folgende Rechnung auf: $\begin{eqnarray*} (0,03-p)² = \frac{1,96^2\cdot p(1-p)}{1000} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10038,416p^2-638,416p+9=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} p_1 = 0,02109408024 und p_2 = 0,04250291975 \end{eqnarray*}$
Was wurde hier bestimmt? Wie groß war die Stichprobe und was war das Stichprobenergebnis? Deute das Ergebnis der Rechnung im Sachzusammenhang.

Zunächst mal vermute ich hier einen Schreibfehler. Statt $\begin{eqnarray*} 10038,416 \end{eqnarray*}$ sollte da wohl $\begin{eqnarray*} 1003,8416=1000+1.96^2 \end{eqnarray*}$ stehen.

Die Interpretation der Rechnung ist nicht ganz einfach, wenn man nicht im Unterricht war oder das entsprechende Schulbuch besitzt. Es gibt nämlich mehrere Methoden, näherungsweise für den unbekannten Parameter $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ einer Binomialverteilung ein Konfidenzintervall zu bestimmen. Meine Vermutung geht dahin, das hier das Agresti-Coull-Intervall benutzt wurde:

https://de.wikipedia.org/wiki/ Konfidenz...Coull-Intervall

Numerisch passt das jedenfalls gut zusammen.

10.11.2017, 13:59

Jefferson1992

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Sorry, dass ich nicht antworte. Studiere ja selbst noch und komme gerade nicht dazu.

Vielen Dank erstmal, ich schaue es mir an und frage meine Schülerin, welches Verfahren sie im Unterricht verwenden und melde mich dann wieder.

10.11.2017, 14:07

Huggy

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Das erscheint mir vernünftig. Die Bezeichnung Agresti-Coull-Intervall muss nicht zwangsläufig verwendet worden sein. Aber es muss einen konkreten Rechengang gegeben haben. Und da gibt es, wie schon gesagt, mehrere Möglichkeiten.

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