Supremum

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05.11.2017, 12:37	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
Supremum Bestimme: 1) sup $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \in [-1, 1] \cap \mathbb Q \end{eqnarray}$ . . 2) sup $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \in [-1, 1] \setminus \mathbb Q \end{eqnarray}$ ______________________________________________________ 1) Also $\begin{eqnarray} -1 \leq x \leq 1 \end{eqnarray}$ Und x kann nur rationale Zahlen annehmen. Jetzt seh ich, x^2 kann niemals negativ sein, also ist die untere Schranke 0, aber das ist ja nicht gefragt. Supremum kann ja dann nur 1 sein ?, größer als 1 gibts nicht, aber x^2 = 1 gibts. 2) Das gleiche nur diesemal kann x nur irrationale Zahlen angeben. 1 ist eine Natürliche Zahl, also ist Supremum die größte Irrationale Zahl die kleiner 1 ist ?
05.11.2017, 12:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt leider nicht mit der Definition eines Supremum überein. Außerdem gibt es keine größte irrationale Zahl kleiner als 1.
05.11.2017, 12:59	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
Supremum eine obere Schranke, die kleiner als alle anderen oberen Schranken ist. Also ist die Frage immer, gibts eine obere Schranke, die kleiner als 1 ist ? bei 1), nein. bei 2), wenn du sagst das es garkeine irrationale Zahl gibt, hm was schreib ich dann da hin? Planlos.
05.11.2017, 13:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Supremum ist eine kleinste obere Schranke. Was ist eine obere Schranke ? Liegen Schranken immer in einer vorgegebenen Menge, immer außerhalb, mal so und mal so ? Selbstverständlich gibt es irrationale Zahlen. Es gibt keine größte irrationale Zahl kleiner als 1.
05.11.2017, 13:51	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Supremum kann auch außerhalb der Menge liegen, es ist nur immer größer als alle anderen Elemente der Menge. Wenns ein Element in der Menge gibt, das gleichgroß ist wie das Supremum, dann ist das Supremum auch ein Maximum. Korregiere mich falls ich da was falsch verstanden habe. also wenn die Menge der Rationalenzahlen nur von -1 bis 1 geht, dann ist 1 das größte Element der Menge und Supremum ist dann der unmittelbar nächste Wert ? $\begin{eqnarray} 1+ \epsilon = obere Schranke \end{eqnarray}$ .
05.11.2017, 13:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann nicht sein, denn dann wäre $\begin{eqnarray} a+\frac {\epsilon} 3 \end{eqnarray}$ auch eine obere Schranke, und durch weitere Division könnte man die obere Schranke immer kleiner machen. Es gibt kein kleinstes $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ , es gibt kein unmittelbar auf 1 folgendes $\begin{eqnarray} 1+\epsilon \end{eqnarray}$ . So funktionieren die reellen Zahlen nicht. Nicht einmal in den rationalen Zahlen geht das so. Was ist denn der kleinste Bruch, der größer ist als 1 ???
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05.11.2017, 14:08	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
Der kleinste Bruch der größer ist als 1, bah Frag mich was leichteres, wahrscheinlich $\begin{eqnarray} \frac{1+\frac{1}{\infty}}{1 } \end{eqnarray}$ Ich dachte ja $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ wäre der kleinste mögliche Wert, deswegen hab ich ihn ja hingeschrieben. Es gibt ja unendlich viel Zahlen die zwischen 1 und irgendwas sind. Deswegen dachte ich schreibt man das dann einfach immer mit $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ .
05.11.2017, 14:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ist kein Zahl, also kann man dadurch nicht dividieren. Es gibt keinen kleinsten Bruch, der größer als 1 ist. $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ ist kein Wert, keine Zahl, sondern eine reelle Variable. Du musst die Definitionen lernen und ernst nehmen. "Wenns ein Element in der Menge gibt, das gleichgroß ist wie das Supremum, dann ist das Supremum auch ein Maximum." Der Satz stammt von dir. Ich würde ihn eher so formulieren: Wenn eine Menge reeller Zahlen ein Maximum hat, so ist das Maximum das Supremum dieser Menge. Damit ist (1) beantwortet. Tipp: Lerne, was eine obere Schranke ist, lerne, was ein Supremum ist, und beantworte (2).
06.11.2017, 13:42	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
1) Wenn die größte Zahl, die ich für x einsetzen kann = 1 ist. $\begin{eqnarray} f(x) = x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(1) = 1 \end{eqnarray}$ Dann ist Sup f(x) = 1 2) Supremum bedeutet, das es in der Menge keine Zahl gibt, die größer als das Supremum ist. Und es gibt auch keine obere Schranke die kleiner als das Supremum ist, Supremum ist die kleinste obere Schranke. Alles was darunter ist, Ist eine Zahl der Menge. So, nun muss ich trotzdem wissen wo die Schranke ist, Wenn man so wie ich, keine irrationale Zahl kennt, die zwischen -1 und 1 existiert. Dann kann man nur hinschreiben Sup f(x) = -1 Das wäre dann eine leere Menge...
06.11.2017, 14:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist viel zu sehr auf Funktionen $\begin{eqnarray} f:\mathbb R\to\mathbb R, x\mapsto y=f(x) \end{eqnarray}$ fixiert, anscheinend hat dich dein Mathelehrer zu stark beeinflusst. Über Funktionen in viel allgemeinerem Zusammenhang der Mengenlehre darfst du zu gegebener Zeit nachdenken, mit dieser Aufgabe hat das nichts zu tun. (1) $\begin{eqnarray} Max\{x^2:x\in \mathbb Q\wedge x\in[-1,1]\}=1 \end{eqnarray}$ hatten wir schon festgestellt, und das rationale Maximum in dieser Menge ist das reelle Supremum dieser Menge. (2) Jetzt geht es um die Menge $\begin{eqnarray} \{x^2:x\in \mathbb R\backslash \mathbb Q\wedge x\in[-1,1]\} \end{eqnarray}$ . Alle reellen Zahlen in dieser Menge liegen offenbar zwischen 0 und +1, also ist 0 eine untere und +1 eine obere Schranke. 0 und +1 sind kein Minimum und kein Maximum, weil sie rational sind, also nicht in der Menge liegen. Kann man eine reelle Zahl $\begin{eqnarray} m>0 \end{eqnarray}$ oder eine reelle Zahl $\begin{eqnarray} M<1 \end{eqnarray}$ angeben, so dass alle Zahlen der Menge größer als $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ oder kleiner als $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ sind ? Mit anderen Worten: Gibt es größere untere Schranken als 0 oder kleinere obere Schranken als 1 ?
06.11.2017, 14:18	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
@Elvis, du hast geschrieben, "Alle reellen Zahlen in dieser Menge liegen offenbar zwischen 0 und +1" Meinst du nicht zwischen -1 und 1 ? Gibt es größere untere Schranken als 0 oder kleinere obere Schranken als 1 ? Nein wenn 1 der letzte mögliche Wert der Menge ist, dann gibts keine kleinere obere Schranke mehr als 1. und wenn 0 der kleinste Wert in der Menge wäre, dann gibts keine größere untere Schranke als 0. Aber ich habe ja alle rationalenzahlen rausgeworfen, und nun bleiben nurnoch sachen wie $\begin{eqnarray} \sqrt2 \end{eqnarray}$ übrig, die aber garnich in der menge sin. Vielleicht denk ich zu kompliziert, aber für mich sieht das so aus, als hätte ich eine leere Menge, und müsste nun herausfinden, wo Supremum ist.
06.11.2017, 14:25	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur 1. Frage: Die Menge enthält nur Quadrate von reellen Zahlen ungleich 0, und solche Quadrate sind immer größer als 0. Zur 2. Frage: Du denkst viel zu kompliziert. 0 und 1 sind untere und obere Schranken. Gehen wir ein beliebig kleines $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ nach links, dann gibt es zwischen $\begin{eqnarray} 1-\epsilon \end{eqnarray}$ und 1 reelle nicht rationale Zahlen (nannte man früher mal irrational), also ist $\begin{eqnarray} 1-\epsilon \end{eqnarray}$ keine obere Schranke, also ist 1 die kleinste obere Schranke, also ist 1 das Supremum. (1 ist nicht nur eine natürliche, nicht nur eine ganze, nicht nur eine rationale, sondern auch eine reelle Zahl. Dein Bild zeigt doch wunderbar, wie die Mengen Teilmengen von einander sind. Du weißt alles, du musst dir nur klar machen, was du alles weißt.)
06.11.2017, 14:43	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Frage: ah ja, logisch. Gibt keine negativen zahlen in der Menge 2.Frage: Ok also, es gibt unendliche viele irrationale Zahlen zwischen 0 und 1 ?, dann ist klar, das nur 1 das Supremum sein kann. Ich dachte es gäbe überhaupt keine irrationalen Zahlen dazwischen. Ich hatte die Menge der Irrationalenzahlen so vor mir. Das sind ne Handvoll zahlen, die quadriert aber alle größer als 1 sind.
06.11.2017, 18:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt abzählbar viele natürliche Zahlen, abzählbar viele ganze Zahlen, abzählbar viele rationale Zahlen, und überabzählbar viele reelle Zahlen. In jedem noch so kleinen reellen Intervall [a,b] mit a<b gibt es überabzählbar viele reelle Zahlen, wahnsinnig "viel mehr". In ein winziges reelles Intervall (a,b) kann man die ganze nach beiden Seiten unendlich große Menge der reellen Zahlen bijektiv abbilden.

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