Zeigen, dass eine Abbildung kommutativ ist

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Dramalama Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass eine Abbildung kommutativ ist
Meine Frage:
Sei X eine nicht leere Menge.
(i) Sei Abb(X, X) ={f : X -> X} die Menge aller Abbildungen von X nach X. Zeigen
Sie, dass die Komposition ?: Abb(X, X) × Abb(X, X) -> Abb(X, X) kommutativ
ist genau dann, wenn X endlich ist und |X| = 1.


Meine Ideen:
Ich hab dieses ganze Gruppenthema garnicht verstanden und wäre dankbar für jede Erklärung
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Viel Gruppentheorie braucht man da nicht. Es genügt, Abbildungen auf 1- und 2-elementigen Mengen zu verketten.
 
 
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Gruppentheorie hat das nicht viel zu tun. Bist du sicher, dass du die Aufgabe überhaupt verstehst? Falls nicht, solltest du mehr Zeit in die Nachbereitung der Vorlesung investieren.

Was heißt kommutativ überhaupt? Diese Eigenschaft ist keine, die ausschließlich für Gruppen reserviert ist. (Ich nutze deine Notation)



Angenommen, |X| > 1. Beispiel |X|={a,b} Hier bist du in der glücklichen Position, dass du deine Abbildungen frei wählen darfst. Da die Behauptung ja sehr groß gefächert ist. Betrachte doch:
f(a)=a, f(b)=b, g(b)=a, g(a)=b

Nun, wie wendet man Kompositionen an?

Kurze Hilfe zum trivialen Fall. Ist |X|=1: (f ? g)(a) = (g ? f)(a). Warum? ist einzige Möglichkeit, damit , analog für g. Also ist f(a)=a und damit (g?f)(a)=a=(f?g)(a) (<-- Warum? )(komische Notation..Bist du sicher, dass ihr ein Fragezeichen verwendet? Zunge )

Letzte Frage: Was hast du nun insgesamt überhaupt gezeigt und welche Richtung der Äquivalenz liefert es dir? Liefert es dir überhaupt eine vollständige Richtung?
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