Partiell differenzierbar mit Differenzialquotient

05.11.2017, 16:41

Anonymunterwegs.

Partiell differenzierbar mit Differenzialquotient

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich möchte zeigen ob folgende Funktion partiell differenzierbar im Punkt (1,0) ist.

$\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2)=1/2(x_1+x_2 - |x_1-x_2|) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich dachte mir zuerst, dass das mit dem Differentialquotienten leicht zu zeigen wäre. Habe dann folgendermaßen angefangen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,x_2)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1+h,x_2)- f(x_1,x_2)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_1}(1,0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h,0)- f(1,0)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_1}(1,0)= \lim_{h \to 0} \frac{1/2(1+h+0-|1+h-0|)- 1/2(1+0-|1+0|)}{h} \end{eqnarray*}$

Täusche ich mich jetzt oder steht da im Zähler 0-0? Denn dann würde ich ja durch 0 teilen und der Grenzwert existiert nicht... Für x_2 bekomme ich jedoch einen Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_2}(1,0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(1,0+h)- f(1,0)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_2}(1,0)= \lim_{h \to 0} \frac{1/2(1+0+h-|1-(0+h)|)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_2}(1,0)= \lim_{h \to 0} \frac{1/2(1+h-|1-h|)}{h} \end{eqnarray*}$

Der Teil in den Betragsstrichen ist sowieso größer 0 also fallen die weg denke ich. Dann vereinfacht sich das da oben zu:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_2}(1,0)= \lim_{h \to 0} \frac{1/2(1+h-(1-h)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{(1/2)*2h}{h} = 1? \end{eqnarray*}$

Bin mir da nicht so sicher. Angenommen alles ist richtig bis hierhin. Kann man f dann trotzdem partiell differenzierbar nennen obwohl der Grenzwert für x_1 nicht existiert?

06.11.2017, 09:38

klarsoweit

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RE: Partiell differenzierbar mit Differenzialquotient

Zitat:

Original von Anonymunterwegs.
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_1}(1,0)= \lim_{h \to 0} \frac{1/2(1+h+0-|1+h-0|)- 1/2(1+0-|1+0|)}{h} \end{eqnarray*}$

Täusche ich mich jetzt oder steht da im Zähler 0-0? Denn dann würde ich ja durch 0 teilen und der Grenzwert existiert nicht.

Nun ja, für genügend kleines h hast du: $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{1/2(1+h+0-|1+h-0|)- 1/2(1+0-|1+0|)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} \end{eqnarray*}$

Da teilst du nicht durch 0, sondern durch h. Und das h ist nicht Null, sondern geht nur beliebig nah an Null heran.

06.11.2017, 21:21

Anonymunterwegs.

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Hi,

danke erstmal für deine Antwort smile

Aber dann wäre ja der Grenzwert 0 und würde somit existieren...

Das widerspricht allerdings der Aufgabenstellungen. Es soll ja eben für diesen Punkt kein Grenzwert existieren.

Ich glaube ich habe bei der Umformung irgendetwas falsch gemacht. Könntest du mir einen Hinweis geben? Hammer

06.11.2017, 21:36

Anonymunterwegs.

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Entschuldige, ich habe die Aufgabenstellung verwechselt. Die Funktion soll ja partiell differenzierbar sein. Also stimmt dann soweit alles denke ich mal. Habe für den Grenzwert jetzt 0.

06.11.2017, 22:58

Anonymunterwegs.

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Hätte da aber noch eine Frage.

Angenommen es gilt x_1 = x_2

Wie verhält sich dort der Grenzwert ?

Kann man mithilfe des Differentialquotienten zeigen, dass der linksseitige Grenzwert sich vom rechtsseitigen unterscheidet?

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_1}(1,1)= \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h,1)- f(1,1)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_1}(1,1)= \lim_{h \to 0} \frac{1/2(1+h +1-|(1+h)-1|)-1}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_1}(1,1)= \lim_{h \to 0} \frac{1/2(2+h-|h|)-1}{h}= \lim_{h \to 0} \frac{1-1}{h} \end{eqnarray*}$

Ist jetzt nicht wirklich ein Widerspruch, da der Grenzwert exisitert...

Mir ist bewusst, dass die Funktion für x=y nicht differenzierbar und stetig ist, da die linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwerte sich unterscheiden. Wie zeige ich das nun mit dem Differentialquotienten? Kann ich eine Umgebung um den Punkt wählen und dann zeigen, dass sich die Grenzwerte von einander unterschieden? Ein Tipp oder ein Anstoß wäre sehr nett ! Freude

07.11.2017, 08:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von Anonymunterwegs.
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_1}(1,1)= \lim_{h \to 0} \frac{1/2(2+h-|h|)-1}{h}= \lim_{h \to 0} \frac{1-1}{h} \end{eqnarray*}$

Hier machst du den Fehler, daß du anscheinend h - |h| = 0 setzt. Da stimmt aber nur für h > 0. Für h < 0 sieht die Sache anders aus. smile

07.11.2017, 14:48

Anonymunterwegs.

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Stimmt, ich hatte komischerweise die ganze Zeit Angenommen h würde nur aus dem Positiven kommen.

Für eine Fallunterscheidung h > 0 und h < 0 bekomme ich dann zwei Unterschiedliche Grenzwerte nämlich 0 und -1 für x1 und x2 analog.

Da, die Grenzwerte für beide Seiten unterschiedlich sind wäre damit doch bewiesen, dass die Funktion nicht stetig ist in (1,1) , denke ich zumindest.

Auf jeden Fall hat dein letzter Kommentar für mehr Klarheit gesorgt, danke dir! Freude

07.11.2017, 14:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von Anonymunterwegs.
Da, die Grenzwerte für beide Seiten unterschiedlich sind wäre damit doch bewiesen, dass die Funktion nicht stetig ist in (1,1) , denke ich zumindest.

Nun ja, stetig ist sie, aber eben nicht partiell differenzierbar.

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