Minimum Maximum finden ohne Ableitung

05.11.2017, 20:06

Kathreena

Minimum Maximum finden ohne Ableitung

Gesucht, Sup, Inf, Min, Max

$\begin{eqnarray*} A = \left\{ n^4 -n^2 -2 | n \in \mathbb Z \right\} \end{eqnarray*}$

______________________________________
Ich hab zuerstmal umgeformt. k = n²

$\begin{eqnarray*} A(n) = k^2-k-2 = (k-\frac{1}{2} )^2 -2,25 = (n^2-\frac{1}{2} )^2 -2,25 \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} A(n) = (n^2-\frac{1}{2} )^2 -2,25 \end{eqnarray*}$

Da kann ich dann herauslesen, das -2,25 = Infimum A, weil $\begin{eqnarray*} (n^2-\frac{1}{2} )^2 \end{eqnarray*}$ nur eine positive Zahl sein kann, heißt es kann nur bis höchstens -2,25 ins negative gehn.
Supremum gibts keins, weil die Funktion bis ins unendlich positive gehn kann. wenn ich n gegen unendlich gehen lasse, kommt unendlich raus.

Bei Min Max, hab ihc nun das prob, das wir an der Uni noch garnich Differentialrechnung gemacht haben, das kommt erst im 2. Semester, als denke ich, ich muss herausfinden wo das Min und Max liegt, ohne erste und 2. Ableitung zu bilden. Nur wie =?.

05.11.2017, 22:05

mYthos

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RE: Minimum Maximum finden ohne Ableitung ?

Zitat:

Original von Kathreena
...
Ich hab zuerstmal umgeformt. k = n²

$\begin{eqnarray*} A(n) = k^2-k-2 = (k-\frac{1}{2} )^2 -2,25 = (n^2-\frac{1}{2} )^2 -2,25 \end{eqnarray*}$
...

Wenn du $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ersetzt, heisst es dann (vorübergehend) $\begin{eqnarray*} A(k) = ... \end{eqnarray*}$
~~Ansonsten stimmt es.~~ EDIT: Die Umformung stimmt. Sh. Post von Elvis! Was kommt anstatt -2.25 in Frage?

Die Minima müssen sich (wegen des Verlaufes) in der Nähe von n = {.., -1, 0, 1, ..} befinden.
Setze diese n n nacheinander ein und berechne A(n).
Die Monotonie der Funktion ist links von n = -1 bzw. rechts von n = 1 eindeutig gegeben, wie sieht diese aus?
Damit können dann die Minima/das Minimum sichergestellt werden.

[attach]45592[/attach]
-------------------

Übrigens zeichnest du dich dadurch aus, dass du in fast allen deinen Threads nach einer Hilfeleistung/Antwort unsererseits nicht mehr reagierst.
Das ist nicht nett. Wenn sich das nicht ändert, werde ich mich mit deinen Threads nicht mehr befassen.

mY+

05.11.2017, 22:13

Elvis

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A enthält nur ganze Zahlen, also kann ein Minimum oder Supremum auch nur eine ganze Zahl sein. -2,25 kommt nicht in Frage.

05.11.2017, 22:18

mYthos

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Ach ja, stimmt, habe ich übersehen. THX.
Sh. bitte EDIT.

mY+

06.11.2017, 13:16

Kathreena

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Also nur ganze Zahlen, i see.
Dadurch betrachte ich 3 Werte, A(-1) = -2, A(0) = -2, A(1)= -2, Also kann A(n) kleinstens -2 sein, oder der kleinste Wert in der Menge ist -2. $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ infimum A(n) = 2

Die anderen Werte, A(3), A(4).... muss ich nicht betrachten, weil sobald n größer 2,25, bin ich immer im Positiven Bereich. Und warum es kein Supremum gibt, hatte ich schon vorher bewiesen.

So, nun bin ich etwas verwirrt, auf deiner Skizze @mYthos, schauts ja so aus als hätte ich ein Maximum bei n = 0. Aber wenn ich für n nur ganze Zahlen einsetzen darf, hab ich ja garkeine Kurve sondern nur Punkte traurig

.

Sonst blende ich das mal aus und sage:
Für $\begin{eqnarray*} n \geq -1 \end{eqnarray*}$ ist die Funktion monoton fallend.
und Für $\begin{eqnarray*} n \leq 1 \end{eqnarray*}$ ist die Funktion monoton steigend.

D.h. ich hab ein Minimum zwischen n=-1 und n=1.
Was aber genau zwischen diese beiden Werten passiert, kann ichgarnichmehr betrachten, weil ich ja nur ganze Zahlen benutze. Also kann ich nur sagen, das Minimum muss bei n = 0 sein. A(0) = 2.
Laut SKizze aber ein Maximum eig.

________________________________________________

Also wenn ich nichmehr antworte, dann sitz ich entweder noch an der Aufgabe, oder ich habe die Lösung schon. Ich werd aber nun zumindest die Threads mit einem "ok danke für die Hilfe, erledigt" abschließen.

06.11.2017, 13:42

Elvis

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Die Funktion ist nicht wichtig, die Menge A ist wichtig. Du hast ganz richtig erkannt, dass Min(A)=Inf(A)=-2 ist, und dass A nach oben unbeschränkt ist, also kein Supremum und erst recht kein Maximum hat.

06.11.2017, 13:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kathreena (korrigiert und ergänzt)
Für $\begin{eqnarray*} n {\color{red}\leq} -1 \end{eqnarray*}$ ist die Funktion streng monoton fallend.
und Für $\begin{eqnarray*} n {\color{red}\geq} 1 \end{eqnarray*}$ ist die Funktion streng monoton steigend.

Dann macht die Feststellung "Minimum liegt irgendwo zwischen den Stellen -1 und 1" Sinn.

06.11.2017, 14:21

Kathreena

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Ok, danke für die Hilfe.

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