Ableitung

05.11.2017, 20:10

Starchild

Ableitung

Hallo zusammen,

ich habe ein Verständnisproblem. (die Einsen und Zweien sind als Subscript zu verstehen!)

Edit (mY+): LaTeX berichtigt, sonst kann das keiner lesen!

Um den Zusammenhang herzustellen, poste ich einfach mal alles.
Gegeben ist diese Gleichung:

$\begin{eqnarray*} L_{A}= u_{A}(x^{A_1},x^{A_2})- C_{A}(y_1) \end{eqnarray*}$ sie soll unter folgender Nebenbedingung maximiert werden:

$\begin{eqnarray*} px^{A_2}=y_{1}- x^{A_1} \end{eqnarray*}$ , diese kann man nach y1 umformen und in die Ausgangsfunktion einsetzen.
Man erhält $\begin{eqnarray*} L_{A}= u_{A}(x^{A1}, x^{A_2})-C_{A}(x^{A_1}+px^{A_2}) \end{eqnarray*}$

Nun wird das ganze nach $\begin{eqnarray*} x^{A_1} \end{eqnarray*}$ abgeleitet und man erhält:

$\begin{eqnarray*} \frac{dL_{A} }{dx^{A_1} }= \frac{du_{A} }{dx^{A_1}}-\frac{dC_{A}(y_1) }{dy_{1} }\cdot \frac{dy_{1} }{dx_{1} } \end{eqnarray*}$

Meine Frage: Wie kommt man auf den Teil nach dem Minus? Ich stehe komplett auf dem Schlauch. Vorallem, wieso wird da nach y1 abgeleitet? verwirrt

Kann mir da einer weiterhelfen?

Viele Grüße
Starchild

06.11.2017, 09:15

klarsoweit

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RE: Ableitung

Zitat:

Original von Starchild
Meine Frage: Wie kommt man auf den Teil nach dem Minus? Ich stehe komplett auf dem Schlauch. Vorallem, wieso wird da nach y1 abgeleitet?

Nun ja, da wird mittels der Kettenregel das C_A nach y_1 und dieses dann nach $\begin{eqnarray*} x^{A_1} \end{eqnarray*}$ abgeleitet. Deswegen müßte es eigentlich so lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac{dL_{A} }{dx^{A_1} } = \frac{du_{A} }{dx^{A_1}} - \frac{dC_{A}(y_1) }{dy_1}\cdot \frac{dy_1}{dx_{A_1}} \end{eqnarray*}$

Was mir nicht so ganz klar ist: in Abhängigkeit von welcher / welchen Variablen soll maximiert werden?

Bedeutet das A_1 in $\begin{eqnarray*} x^{A_1} \end{eqnarray*}$ ein Exponent oder ist das eine andere Symbolik?

Ich schiebe das mal in den Hochschulbereich.

06.11.2017, 19:56

Starchild

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Vielen Dank für deine Antwort! Es soll in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x^{A}1 und x^{A}2 \end{eqnarray*}$ maximiert werden.

Dabei soll bei den x-Variablen das A "hochgestellt" und die 1 bzw. 2 "runtergestellt" werden. Das kriege ich in Latex aber nicht umgesetzt. :/

Das es was mit der Kettenregel zu tun haben wird, habe ich mir sogar fast gedacht. Nur ist mir der Teil mit dem dC (y1) / dy1 noch nicht ganz klar. Die Gleichung wurde doch extra so umgeschrieben, dass das y1 rausfällt?! In der Klammer in der vorigen Gleichung steht doch was völlig anderes?!

Viele Grüße und einen angenehmen Abend

06.11.2017, 20:40

sibelius84

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$\begin{eqnarray*} C_A \end{eqnarray*}$ ist hier wohl im Wesentlichen eine differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Sagen wir mal, wir hätten jetzt

$\begin{eqnarray*} \varphi(x,y):=C_A(0,8x^{10}+15y^4) \end{eqnarray*}$ .

Dann wäre

$\begin{eqnarray*} \varphi_x(x,y)=C_A'(0,8x+15y^4)\cdot 8x^9 \end{eqnarray*}$ , und

$\begin{eqnarray*} \varphi_y(x,y)=C_A'(0,8x+15y^4)\cdot 60y^3 \end{eqnarray*}$ .

Weil C_A nur von einer Variablen abhängt, "gibt es ja nur den Strich". Bzw.: Weil C_A von der einen Variablen y_1 abhängt, "gibt es nur $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y_1} \end{eqnarray*}$ . Differenziert wird nach der Kettenregel, hier sogar die herkömmliche und nicht die mehrdimensionale.

06.11.2017, 21:10

mYthos

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Zitat:

[i]
...
Dabei soll bei den x-Variablen das A "hochgestellt" und die 1 bzw. 2 "runtergestellt" werden. Das kriege ich in Latex aber nicht umgesetzt. :/
...

Dann siehe doch mal bitte nach, wie es in deinem ersten Beitrag berichtigt wurde!

mY+

07.11.2017, 08:44

klarsoweit

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Zitat:

Original von Starchild
Das es was mit der Kettenregel zu tun haben wird, habe ich mir sogar fast gedacht. Nur ist mir der Teil mit dem dC (y1) / dy1 noch nicht ganz klar. Die Gleichung wurde doch extra so umgeschrieben, dass das y1 rausfällt?!

Das Ersetzen von y1 hilft kein bißchen beim Ableiten. Da braucht es eben die Kettenregel, wodurch das y1 wieder ins Spiel kommt.

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