Richtungsfeld Isokline

06.11.2017, 13:16

9halbe

Richtungsfeld Isokline

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} y'(x)=1/4*y(x)(4-y(x)) \end{eqnarray*}$

Ich soll ein Richtungsfeld entlang der Isoklinen

$\begin{eqnarray*} 1/4*y(4-y)=c , c=0,1/4,3/4,1 \end{eqnarray*}$

skizzieren.

Meine Ideen:
Ich weiß nicht wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Zuerst die Isokline zeichnen? Da kein x in y' vorkommt ´weiß ich nicht wie ich die Steigung berechne.
Es gilt ja:

$\begin{eqnarray*} y'=m=1/4*y(x)*(4-y(x)) \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Steigung bei (1|1) haben will setze ich ein:

$\begin{eqnarray*} y'=m=1/4*1*(4-1) =3/4 \end{eqnarray*}$

Das ist die Steigung?

06.11.2017, 13:26

klarsoweit

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RE: Richtungsfeld Isokkline
Ja. Entlang einer Parallelen zur x-Achse hast du immer dieselbe Steigung. smile

06.11.2017, 13:40

9halbe

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Achso das ist ja super!

Dann habe ich jetzt ein Richtungsfeld mit den ganzen Steigungen eingezeichnet. Wie verlaufen jetzt die Isokline? Muss ich die c=... Gleichung nach y umstellen?

06.11.2017, 13:44

9halbe

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nochmal zur Steigung, bei y=0 und y=4 ist die Steigung m=0 ?

06.11.2017, 13:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von 9halbe
Wie verlaufen jetzt die Isokline? Muss ich die c=... Gleichung nach y umstellen?

Ja.

Zitat:

Original von 9halbe
nochmal zur Steigung, bei y=0 und y=4 ist die Steigung m=0 ?

Ja.

06.11.2017, 13:58

9halbe

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Gut dann bekomme ich für die Isokline folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} c=0: y=0 \vee y=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c=1/4: y=2\pm \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c=3/4: y=1 \vee y=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c=1: y=2 \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

06.11.2017, 14:07

klarsoweit

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Das sollte passen. smile

06.11.2017, 14:07

9halbe

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Mmh und dann zeichne ich für c= 0 einfach zwei Isokline?

06.11.2017, 14:11

klarsoweit

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Ja. Eine bei der Geraden y=0 und eine bei y=4.

06.11.2017, 14:21

9halbe

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Super, dankeschön!

Hat das mit der 2+-sqrt(3) noch irgendwas auf sich? Das fällt ja so aus dem Muster?

06.11.2017, 14:28

klarsoweit

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Nö, eine quadratische Gleichung darf auch mal irrationale Nullstellen haben. Du hast da eben auch 2 Isoklinen. smile

06.11.2017, 14:30

9halbe

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Alles klar. Dankeschön! Wink

06.11.2017, 16:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von 9halbe
Hat das mit der 2+-sqrt(3) noch irgendwas auf sich? Das fällt ja so aus dem Muster?

Au contraire: Das ganze gleich für allgemeine $\begin{align*} c \end{align*}$ angegangen liefert die quadratische Gleichungslösung $\begin{align*} y = 2\pm \sqrt{4(1-c)} \end{align*}$ , und da passen die Werte voll ins Muster. Augenzwinkern

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