Maximale Untermenge bestimmen

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Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »
Maximale Untermenge bestimmen
Hallo,

wie bestimmt man eine maximale Untermenge linear unabhängiger Vektoren und schreibt die restlichen Vektoren als Linearkombination auf?









Reicht es aus eine Matrix aufzustellen und somit zu überprüfen, ob eine lineare Unabhängigkeit vorliegt oder wird hier etwas anderes verlangt?

Gruß
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximale Untermenge bestimmen
Schreibe die Vektoren zeilenweise in eine Matrix und bringe sie auf Zeilenstufenform. Die Vektoren, die den Nicht-Nullzeilen entsprechen, sind linear unabhängig.
 
 
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Bekomme folgendes raus:



Demnach müssten die Vektoren doch insgesamt linear abhängig sein oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre die maximale Untermenge linear unäbhängiger Vektoren dann oder müsste man die Zeilen, die nicht null sind aufzählen? Und welche Vektoren soll man denn als Linearkombinationen aufschreiben?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fragewurm
Wäre die maximale Untermenge linear unäbhängiger Vektoren dann oder müsste man die Zeilen, die nicht null sind aufzählen?

Natürlich letzteres.

Zitat:
Original von Fragewurm
Und welche Vektoren soll man denn als Linearkombinationen aufschreiben?

Sofern du keine Zeilenvertauschungen gemacht hast, sind das die Vektoren v_3 und v_4.
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, das wären dann diese beiden Zeilen:





Die entsprechen jedoch keinen der ursprünglichen Vektoren bis . Ist das so gemeint?

Und wie findet man eine Linearkombination und ?
Muss man dafür beliebige Zahlen wählen, mit denen man die beiden Vektoren multipliziert?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es jetzt mal selbst gerechnet und komme dabei auf die Matrix .

Dein Ergebnis läßt sich nicht auf mein Ergebnis umformen. Bitte poste mal deine Rechenschritte.
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

War wohl ein Rechenfehler, habe nun:

raus.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Auch dieses Ergebnis ist nicht kompatibel zu meinem Ergebnis. Bitte prüfe nochmal alles ab:
1. Stimmt die Angabe der Vektoren?
2. Welche Rechenschritte hast du gemacht? Bitte poste diese.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Grundproblem (zumindest bei seiner ersten Rechnung oben) ist, dass Fragewurm das Gaußtableau gebildet hat, indem er die gegebenen Vektoren als Spaltenvektoren dort eingetragen hat, die Gauß-Eliminierungsschritte dann aber (wie üblich) zeilenbasiert durchgeführt hat. Das ist hinsichtlich Rangbestimmung zwar unerheblich, was die Identifizierung passender linear unabhängiger Vektoren unter den Ausgangsvektoren betrifft aber tödlich...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximale Untermenge bestimmen
Na toll. Wenn dieses:
Zitat:
Original von klarsoweit
Schreibe die Vektoren zeilenweise in eine Matrix

nicht beachtet wird und auch die Rechnung nicht gepostet wird, kommt man leider nicht vom Fleck. geschockt
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt, habe fälschlicherweise nicht beachtet, wie man die Vektoren einträgt.

Korrekt müsste es ja so sein:



Dann bekomme ich auch folgendes raus:



Stimmt das? Falls nicht liste ich die Rechenschritte separat auf.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Das entspricht mit ein paar kleinen Umformungen meiner Matrix. Wenn du die beiden oberen Zeilen als Vektoren nimmst, müßtest du damit nun die Vektoren v_3 und v_4 durch eine Linearkombination herstellen können.
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Die oberen beiden Zeilen als Vektoren wären dann:

und .

Gibt es einen Trick, wie man eine Linearkombination mit diesen beiden Vektoren erstellen kann, um jeweils die folgenden Vektoren zu bekommen?



klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, für v_3 ist formal dieses Gleichungssystem zu lösen:



Man kann aber relativ schnell die korrekte Linearkombination finden, denn in der ersten Komponente von v_3 steht eine 5, die man nur erreichen kann, wenn man 5 mal v_1 nimmt. Zu 5*v_1 mußt du dann noch ein geeignetes Vielfaches von v_2 addieren, damit die anderen Komponenten passen. Das sollte zu schaffen sein. Ich denke, mit etwas Nachdenken wärest du bestimmt auch selbst darauf gekommen. Augenzwinkern
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, das war doch sehr trivial. Danke!
Spielt es eigentlich eine Rolle, ob ich die Linearkombination mit den ersten beiden Ausgangsvektoren bilde oder mit den beiden Zeilen, die durch die Umformung keine Nullzeilen ergeben? Schließlich lassen sich die Vektoren 3 und 4 mit beiden Varianten darstellen, aber man muss andere Werte für a und b verwenden.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip spielt das keine Rolle. Mit Blick auf die Aufgabe, sollen jedoch wohl eher die ursprünglichen Vektoren genommen werden. smile
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