Schnittwinkel zweier Kurven

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06.11.2017, 14:53	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittwinkel zweier Kurven Liebe Analysis Freunde, stehe gerade etwas auf dem Schlauch. Folgende Aufgabe: Gegeben sind 2 Kurven: 1. $\begin{eqnarray} (e^t, e^{2t}, 1-e^{-t}) \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} (1-t, \cos(t), \sin(t)) \end{eqnarray}$ diese schneiden sich nach Voraussetzung in $\begin{eqnarray} P(1,1,0) \end{eqnarray}$ Jetzt soll der Winkel zwischen den Tangenten in diesem Punkt bestimmt werden. Meine Ideen: Ich habe mir überlegt, dass ich den Schnittpunkt in die Ableitung von 1. einsetze. Das Problem dabei ist, dass ich noch nicht durchblicke, wie ich das dann einsetze? Setze ich dann für $\begin{eqnarray} e^t = 1 \end{eqnarray}$ ein oder setze ich für $\begin{eqnarray} t= 1 \end{eqnarray}$ ein? Danke für eure Tipps
06.11.2017, 14:58	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ersteres. Letzteres würde von der Parmetrisierung der Kurve abhängen, während der Winkel unabhängig davon ist. Unabhängig davon, wie willst du $\begin{eqnarray} (1,1,0) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ einsetzen? Nur die erste Komponente? Wieso ist die so besonders?
06.11.2017, 15:07	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu ersterem: Nächste Frage: Ich setze also 1 jetzt für x'(t) ein. dann erhalte ich ja einen neuen Vektor. Wie genau mache ich denn dann weiter? zu zweiterem: Ich hätte vermutet, dass ich dann die Tangente in x Richtung erhalte.. aber ist wahrscheinlich die falsche Vermutung..
06.11.2017, 15:09	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Also vielleicht habe ich dich missverstanden. Du musst zuerst herausfinden, für welche $\begin{eqnarray} t_1, t_2 \end{eqnarray}$ du bei den Kurven zum Schnittpunkt $\begin{eqnarray} P_1 \end{eqnarray}$ kommst. Dann kannst du die Tangentialvektoren an den Stellen ausrechnen. Und dann kann man mit denen zum Winkel kommen.
06.11.2017, 15:12	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
also so: $\begin{eqnarray} (e^t,e^{2t},1-e^{-t}) = (1,1,0) \end{eqnarray}$ Und dann t bestimmen? Meinst du das?
06.11.2017, 15:15	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Du musst rausfinden, wann die Kurve den Punkt überquert. Das sind 3 Gleichugen. Die erste davon ist $\begin{eqnarray} e^t = 1 \end{eqnarray}$ . Daher dachte ich du meinst das im ersten Post (wegen der Injektivität der Exponentialfunktion betimmt das den Wert von $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ bereits eindeutig. Und wenn man weiss, dass es den Punkt durchquert, hätte es auch gereicht $\begin{eqnarray} e^t = 1 \end{eqnarray}$ zu lösen.)
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06.11.2017, 15:24	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. Also ich erhalte $\begin{eqnarray} t_1 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t_2 = 0 \end{eqnarray}$ Berechnung der Tangentialvektoren: Da nehme ich die erste Ableitung bzw. die Geschwindigkeitsvektoren und setze für t = 0 ein. Also: $\begin{eqnarray} T_1: (e^0, 2\cdot e^{2\cdot 0},e^{-0}) = (1, 2, 1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_2: (-1, -\sin(0), \cos(0)) = (-1,0,1) \end{eqnarray}$ Ist das soweit richtig?
06.11.2017, 15:25	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich auch raus. Jetzt gibts eine Formel für den Winkel.
06.11.2017, 15:29	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde folgende nehmen: $\begin{eqnarray} cos(\alpha) = \frac{\|T_1\cdot T_2\|}{\|T_1\|\cdot\|T_2\|} \end{eqnarray}$ Käme dann auf $\begin{eqnarray} \alpha = \frac{1}{2}\pi \end{eqnarray}$
06.11.2017, 15:33	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich fände $\begin{eqnarray} \alpha = 90^\circ \end{eqnarray}$ schöner. Aber richtig ists dennoch.
06.11.2017, 15:38	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Supi Danke dir. Noch eine kurze Sache, wenn ich eine Aufgabe habe, Bestimmen sie den Geschwindigkeitsvektor, muss ich doch einfach nur die Ableitung bilden richtig? (die Aufgabe gibt 8 Punkte, deshalb bin ich was verwirrt)
06.11.2017, 15:47	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittwinkel zweier Kurven Würde ich vermuten. Aber ohne die komplette Aufgabe/Kontext etc. kann ich nicht 100% sicher sein.
09.11.2017, 12:22	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Also in der Aufgabe steht einfach nur: Bestimmen Sie die Geschwindigkeitsvektoren von: Bsp: a) $\begin{eqnarray} (\cos(t), \sin(t)) \end{eqnarray}$ Da hätte ich dann: $\begin{eqnarray} (-\sin(t), \cos(t)) \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich noch eine Verständnisfrage. Wenn ich bei der Aufgabe, die wir hier besprochen haben im 2. Schritt t=0 in den Geschwindigkeitsvektor einsetze, kommt ja wieder ein Vektor raus. Gibt mir dieser Vektor die "Steigung" in die verschiedenen Richtungen an? Oder was sagt mir dieser Vektor?
09.11.2017, 12:32	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachten wir mal die Gerade $\begin{eqnarray} t \mapsto t (a, b) \end{eqnarray}$ für irgendwelche $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ . Dann ist das die Gerade, die in 0 startend, sich in Richtung $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ bewegt. Der Geschwindigketisvektor ist gerade $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ , zeigt also die Richtung, in die sich die Kurve bewegt. Nebenbei sagt der Betrag wie schnell sich die Kurve bewegt: diese braucht 1 Zeiteinheit von $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ . Man kann sich also ein Auto von oben vorstellen, welches sich entlang bewegt. Interessanter wird es bei "echten" Kurven wie dein Beispiel. Das Auto fährt im Kreis. Dafür muss es das Lenkrad eingeschlagen haben. Die Ableitung an Stelle $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ sagt dir, was passiert, wenn man am Zeitpunkt $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ das Lenkrad schlagartig gerade stellt, bzw es "loslässt". Das Auto wird sich nicht mehr im Kreis bewegen, sondern auf einer geraden Linie. Wie schnell und in welche Richtung sagt dir der Geschwindigkeitsvektor.
09.11.2017, 12:47	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
ah okay. Das heißt ab dem Zeitpunkt $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ , wo ich dann geradeaus fahre ist die Gerade die dann entsteht, die Tangente am Punkt, an dem ich mich gerade befinde. Also $\begin{eqnarray} t = t_0 \end{eqnarray}$ einsetzen. Davon habe ich in meinem Beispiel zwei und um bei deinem Beispiel mit dem Auto zu bleiben, die Autos kollidieren im Schnittpunkt der Kurven, welcher ja trivialerweise $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ selbst ist. Und wenn ich mir jetzt mal irgendwie versuche, das vorzustellen, das die sich bei 90° schneiden, dann liegen die Tangenten also senkrecht aufeinander. Das sind auf jeden Fall "interessante" Kurven ... Das eine ist ein Würfel und das andere ist eine Schachtel oder so.
09.11.2017, 12:54	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Tangente sagt dir nicht viel über die Kurve selbst. Bereits der Einheitskreis besitzt alle Tangenten (mit fester Länge, die von der Parametrisierung abhängt.) Am Schnittpunkt ist also eine Kreuzung, so dass die Autos nicht einander gegenüber stehen (dann wäre der Winkel 180°) und nicht beide in die gleiche Richtung fahren (dort wäre der Winkel 0°). Und an der Kreuzung gibts einen lauten Krach, wenn beide Autos diese gleichzeitig versuchen die zu passieren. Fahren sich beide in die "Seite".
09.11.2017, 13:01	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
okay. Ich danke dir für diese Darstellungen So langsam ist es etwas "vorstellbar"

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