Implizite Funktion und lokales Minimum

06.11.2017, 16:15

mathrac

Implizite Funktion und lokales Minimum

Hallo ihr Lieben,
ich komme mit dieser Aufgabe kein bisschen weiter:

Zeigen Sie, dass die Gleichung 1-y²-x²yexp(y) =0
in einer Umgebung der 0 eine implizite Funktion y=g(x) mit g(0)=1 definiert. Zeigen Sie,
dass g ein lokales Minimum in 0 annimmt.

Also ich habe mir die Funktion mal angeschaut und im Punkt (0,0) ist dann ja quasi ein Sattelpunkt der Funktion. Also reicht es doch eine Funktion zu definieren, deren Minimum dann bei 1 liegt, also im Grunde eine Standardparabel. Aber wie kombiniere ich denn das jetzt mit der Funktion?

Ich dank euch schon mal für Hilfe,
Grüße.

06.11.2017, 16:25

HAL 9000

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Ich weiß nicht, was du da redest. Der Punkt (0,0) liegt gar nicht auf dem Graphen dieser impliziten Funktion hier, also kann da auch kein Sattelpunkt sein. unglücklich

06.11.2017, 16:40

mathrac

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Ich meine wenn ich den Punkt (0,0) in f(x,y) = 1-y²-x²yexp(y) einsetze bekomme ich (0,1), dass ist aber gerade ein Sattelpunkt, der Funktion f(x,y). Lege ich jetzt daran eine eindim. Fkt. g(x) an, so erhalte ich doch eine Parabel, mit Minimum in 1. Die Frage ist, wie bestimme ich jetzt die Funktion, reicht es g(x) einfach für y einzusetzen?

06.11.2017, 17:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathrac
Ich meine wenn ich den Punkt (0,0) in f(x,y) = 1-y²-x²yexp(y) einsetze bekomme ich (0,1), dass ist aber gerade ein Sattelpunkt, der Funktion f(x,y).

Nochmal: Was redest du da? (0,0) eingesetzt ergibt $\begin{align*} f(0,0)=1 \end{align*}$ , und damit ist dieser Punkt total irrelevant! Bei der impliziten Funktion interessieren nur Punkte $\begin{align*} (x,y) \end{align*}$ mit der Eigenschaft $\begin{align*} f(x,y)=0 \end{align*}$ , wie etwa der Punkt $\begin{align*} (0,1) \end{align*}$ , für den gilt ja $\begin{align*} f(0,1)=0 \end{align*}$ . Und in einer (kleinen) Umgebung dieses Punktes gibt es eine Funktion $\begin{align*} y=g(x) \end{align*}$ , für die ebenfalls $\begin{align*} f(x,g(x))=0 \end{align*}$ gilt. Über die Existenz dieser Funktion $\begin{align*} y=g(x) \end{align*}$ sowie auch über den Ableitungswert gibt der Satz über die implizite Funktion Auskunft!

06.11.2017, 17:08

mathrac

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Okay, gut, danke.

06.11.2017, 17:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathrac
Zeigen Sie, dass g ein lokales Minimum in 0 annimmt.

Das ist übrigens falsch: g nimmt dort ein lokales Maximum an, siehe obige Skizze.

06.11.2017, 17:28

mathrac

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Ja das ist jetzt klar.

06.11.2017, 17:29

mathrac

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Ich wollte eigentlich nur wissen, wie man bei solch einem Fall mit dem Satz der impliziten Funktion vergeht.

06.11.2017, 18:35

HAL 9000

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Was sagt denn der Satz von der impliziten Funktion:

Zitat:

Ist $\begin{align*} f(x_0,y_0)=0 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} f(x,y) \end{align*}$ in einer Umgebung von $\begin{align*} (x_0,y_0) \end{align*}$ stetig differenzierbar mit $\begin{align*} f_y(x_0,y_0)\neq 0 \end{align*}$ , so existiert eine stetig differenzierbare Funktion $\begin{align*} y=g(x) \end{align*}$ in einer Umgebung von $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ , so dass dort $\begin{align*} f(x,g(x))=0 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} g(x_0)=y_0 \end{align*}$ gilt, und die Ableitung an dieser Stelle $\begin{align*} g'(x_0) = -\frac{f_x(x_0,y_0)}{f_y(x_0,y_0)} \end{align*}$ gilt.

Na und nun wende das einfach auf $\begin{align*} f(x,y) = 1-y^2-x^2y\exp(y) \end{align*}$ sowie $\begin{align*} x_0=0,y_0=1 \end{align*}$ an!!! Also partielle Ableitungen $\begin{align*} f_x \end{align*}$ und $\begin{align*} f_y \end{align*}$ ausrechnen, da $\begin{align*} x_0=0,y_0=1 \end{align*}$ einsetzen, und das war's ja auch fast schon. Das ist schlicht Arbeit, keine Kreativität ist vonnöten. unglücklich

06.11.2017, 19:49

mathrac

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Ach herje HAL 9000,
du hattest recht. Ich habe das jetzt nochmal in meinem Vorlesungsskript nachgelesen und da steht es fast exakt so drin. Das ist wirklich nur einsetzen, naja und eigentlich so schön offensichtlich. unglücklich

Aber da wir das zum ersten mal richtig jetzt angewendet haben, fehlt mir da vermutlich die Erfahrung. Aber wenn du in meinem Verlauf mal dich ein wenig umschaust, siehst du, dass ich gerade mit so offensichtlichen Sachen die meisten Probleme, es ist immer eine blöde Aufgabe auf dem Übungsblatt, wo ich ständig drauf schaue und mir nichts dazu einfällt. Im Gegensatz zu den restlichen Aufgaben....
Danke dir nochmal.

06.11.2017, 20:05

sibelius84

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von mathrac
Ich meine wenn ich den Punkt (0,0) in f(x,y) = 1-y²-x²yexp(y) einsetze bekomme ich (0,1), dass ist aber gerade ein Sattelpunkt, der Funktion f(x,y).

Zitat:

Naja, wenn wir haben $\begin{eqnarray*} f(x_0,y_0) = c \end{eqnarray*}$ , können wir ja den Satz auf $\begin{eqnarray*} \tilde{f}:=f-c \end{eqnarray*}$ anwenden. Wenn ich das richtig sehe, gelten alle Aussagen weiter, oder? Also praktisch immer
"Nichtlineare Gleichungssysteme (mit konstanten rechten Seiten) in n Variablen mit m Gleichungen, n >= m, sind in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ lokal nach x auflösbar, wenn die Funktion auf der linken Seite stetig differenzierbar, und der 'x-Anteil' der Jacobi-Matrix invertierbar ist."

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