Abzählbarkeit

06.11.2017, 15:53

Natürliche Zahl1

Abzählbarkeit

Hallo
es geht um folgende Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 =\mathbb N _{0} \end{eqnarray*}$ .die Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der 0 und $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \times \mathbb N_0 = \{(k, l) : k, l \in \mathbb N_0\} \end{eqnarray*}$ .

1.) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ abzählbar unendlich ist und begründen Sie dass dann auch $\begin{eqnarray*} N_0 \times N_0 \end{eqnarray*}$ abzählbar ist.

Also ich würde es so machen, dass ich eine bijektive Abbildung von N auf N_0 einfach angebe.
Also $\begin{eqnarray*} f: \mathbb N \rightarrow \mathbb N_0 : f(n)=n-1 \end{eqnarray*}$

Die Abzählbarkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \times \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann aus der Tatsache,dass das Produkt abzählbarer Mengen abzählbar ist.
Stimmt das so?

06.11.2017, 16:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Natürliche Zahl1
Also ich würde es so machen, dass ich eine bijektive Abbildung von N auf N_0 einfach angebe.
Also $\begin{eqnarray*} f: \mathbb N \rightarrow \mathbb N_0 : f(n)=n-1 \end{eqnarray*}$

Ja.

Zitat:

Original von Natürliche Zahl1
Die Abzählbarkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \times \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann aus der Tatsache,dass das Produkt abzählbarer Mengen abzählbar ist.

Nun, wenn ihr das schon bewiesen habt, dann kannst du das so machen. Irgendwie klingt es mir die Aufgabe aber so, als soll genau das eigentlich hier bewiesen werden. verwirrt

06.11.2017, 16:12

NatürlicheZahl1

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Das haben wir schon bewiesen. Die Aufgabe hieß urprünglich:
Begründen sie mit der Vorlesung... Das passt also Freude

Es geht aber noch weiter. Jetzr kommen die Probleme:
Ich soll die Abzählbarkeit von N_oxN_0 direkt mit den Cantorschen Diagonalverfahren zeigen. Wie gehe ich am besten vor?

06.11.2017, 16:17

HAL 9000

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Mit einem kleinen Hakenschlag sind wir also dann doch dort gelandet. Nach mach es doch einfach wie im Beweis in der Verlesung, nur dass
du statt mit

code:
1: 2: 3: 4: 5:	1 2 3 4 1 / / / 2 / / 3 / 4

einfach mit

code:
1: 2: 3: 4: 5:	0 1 2 3 0 / / / 1 / / 2 / 3

arbeitest. Augenzwinkern

06.11.2017, 16:52

Natürliche Zahl1

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Aha ok

Kann ich das auch allgemein hinschreiben:

Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 =\{ m_j, j \in \mathbb N\} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0=\{ k_i, i \in \mathbb N\} \end{eqnarray*}$
Daraus folgt
$\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \times \mathbb N_0 =\{(m_j,n_i): m_j \in \mathbb N, k_i \in \mathbb N\} \end{eqnarray*}$

Daraus $\begin{eqnarray*} n_{ji}=(m_J,k_i) \end{eqnarray*}$

Kann man das so allgemein beschreiben oder ist das falsch?

06.11.2017, 18:10

NatürlicheZahl1

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Kann man das so machen?

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