Flugzeug-Wahrscheinlichkeiten

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Thomas7 Auf diesen Beitrag antworten »
Flugzeug-Wahrscheinlichkeiten
Hallo miteinander

Folgendes Problem:
Ein Flugzeugtriebwerk hat 0,2% Ausfallwahrscheinlichkeit.
Ein Flugzeug, das zwei Triebwerke hat, braucht mindestens eines für eine sichere
Landung. Ein anderes Flugzeug, das vier Triebwerke hat, braucht mindestens zwei
davon für eine sichere Landung.

--> Welches Flugzeug ist sicherer?

1) 0.022 * 0.998 + 0.998 = 99% sicher

2) 0.002*0.002*0.998*0.998 +
0.002*0.998*0.002*0.998 +
...
--> Kann man das irgendwie kürzer / einfacher hinschreiben?

Stimmt es überhaupt, was ich hier schreibe?
G071117 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flugzeug-Wahrscheinlichkeiten
a)
P(X>=1)= 1-P(X=0)

b)P(X>=2) = 1-P(X<=1) = 1-P(X=0)-P(X=1)
Bernoullikette verwenden, da auch die Reihenfolge zu berücksichtigen ist.

PS:
0,2% =0,0002
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Thomas7
1) 0.022 * 0.998 + 0.998 = 99% sicher

Bei Wahrscheinlichkeiten nahe an 100% ist doch gerade die Differenz zu diesen 100% maßgeblich und auch entscheidend für die Angabe der Stellenzahl des Ergebnisses!

Hier kommt heraus, und das sollte man dann auch so angeben!!!

100%-99.9996% = 0.0004% Rest ist ein eklatant anderes Ergebnis als 100%-99% = 1%. unglücklich
G07117 Auf diesen Beitrag antworten »

Korrektur:

0,2% = 0,002

Sorry! traurig
Thomas7 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Hinweise, HAL!

Also kann ich festhalten:
Das Flugzeug mit 2 Motoren ist zu 1 - 0.002 = 0.998 sicher, jenes Flugzeug mit 4 Motoren zu 1 - 0.002^2 = 0.999996 . Ergo wäre also das Flugzeug mit 2 Motoren sicherer.

Ganz allgemein: Wenn man sieht, dass man sich nahe der 100%-Grenze bewegt, verwendet man mit Vorzug die Methode 1 - w = x ?

Besten Dank!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast da wohl was grundlegend missverstanden:

Die 0.999996 ist die Sicherheit des Flugzeuges mit 2 Motoren, wo maximal ein Ausfall erlaubt ist.

Die Sicherheit des Flugzeuges mit 4 Motoren, wo maximal 2 Ausfälle erlaubt sind, ist hier noch gar nicht berechnet worden. Aber G071117 hatte einen Hinweis gegeben, den du aber bisher nicht aufgegriffen hast. unglücklich
Thomas7 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast natürlich völlig recht. Vielen Dank für den Hinweis.

Bei 4 Motoren sind es:
1 - 0.002^4 - 3 * 0.002^3 * 0.998 = 0.999

Ist das ok so?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Von der Rechenweise her prinzipiell richtig. Aber denk nochmal dran, was ich oben zu Wahrscheinlichkeiten nahe an 1 gesagt habe - in dem Lichte kann ich zur Ergebnisangabe 0.999 wieder nur sagen: unglücklich
Thomas7 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gut...es ist ja immer abhängig davon, was gefragt ist. (Oder?)

Wenn der Aufgabensteller nach der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses fragt, kann man ja nicht einfach die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses hinschreiben, nur, weil man so den Unterschied eher sehen kann...

Jetzt hier geht es ja eh nur um die Entscheidung, welches der Flugzeuge sicherer ist. smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Thomas7
Ja gut...es ist ja immer abhängig davon, was gefragt ist. (Oder?)

Wenn du basierend auf

Zitat:
Original von Thomas7
Bei 4 Motoren sind es:
1 - 0.002^4 - 3 * 0.002^3 * 0.998 = 0.999

nun die Entscheidung triffst, dass das viermotorige Flugzeug unsicherer als das zweimotorige ist, dann setzt du dich aber gründlich in die Nesseln. Augenzwinkern
Thomas7 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah nein, das ist es ja nicht.
Es ist minimal sicherer, wobei zu sagen ist, dass die hier betrachteten Flugzeuge beide sehr sicher sind.

Ich denke, dein Punkt ist bei mir angekommen.
Vielen Dank jedenfalls für die Geduld, du hast mir sehr geholfen! smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das zweimotorige Flugzeug hat eine Triebwerks-Ausfallwahrscheinlickeit von .

Das viermotorige Flugzeug hat eine Triebwerks-Ausfallwahrscheinlickeit von ca. .

D.h.: Die Wahrscheinlichkeit, mit dem zweimotorigen Flugzeug wegen Triebwerksausfalls abzustürzen, ist ca. 125mal so hoch wie mit dem viermotorigen Flugzeug.


So viel zu der Formulierung "minimal sicherer". Big Laugh
Thomas7 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, da hast du natürlich völlig recht geschockt Freude

Übrigens:Gibt es eine Ausfallwahrscheinlichkeit, für die beide Flugzeuge gleich sicher sind?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Thomas7
Gibt es eine Ausfallwahrscheinlichkeit, für die beide Flugzeuge gleich sicher sind?

Hmm, kann man ja einfach mal ansetzen: Bei Ausfallwahrscheinlichkeit eines Triebwerks würde das folgende Gleichheit erfordern





Also abgesehen von den Extremwerten (nie Ausfall) und (immer Ausfall) kommt da nur in Frage. Eher ein Wert aus der Frühzeit der Luftfahrt (wer den alten Film kennt: So in etwa wie in "Tollkühne Männer in ihren fliegenden Kisten"). smile



Noch was: Die Annahme der Unabhängigkeit des Ausfalls der Triebwerke ist gerade bei äußeren Ursachen sehr in Zweifel zu ziehen, ich erinnere mal an den Vogelschlag bei US-Airways-Flug 1549 (hier kommt gleich die nächste Filmreferenz: "Sully").
Thomas7 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey HAL 9000

Vielen Dank für den Hinweis - und all die Zusatzinfos! Das ist echt interessant! smile
Thomas7 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000

Ich möchte die Ergebnisse des ersten Teils hier nochmals zusammenfassen - der Übersicht wegen und auch ein wenig für mich. Könntest du bitte kurz darüber sehen, ob alles plausibel ausschaut und korrekt erklärt ist?

Das 2-motorige Flugzeug fliegt bei mindestens 1 Motor. Das Gegenereignis dazu lautet: Das 2-motorige Flugzeug fliegt nicht, wenn beide Motoren ausfallen. Das heisst, das Flugzeug hat folgende Betriebssicherheit:

1 - 0.002^2 = 0.999996 oder, anders und sinnvoller ausgedrückt: Es fällt zu 0.0004% = 4 * 10^(-4) % aus.

Das 4-motorige Flugzeug benötigt mindestens 2 Motoren. Auch hier kann man mit dem Gegenereignis argumentieren: Das Flugzeug fliegt nicht, wenn alle oder wenn 3 Motoren ausfallen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Motoren ausfallen, beträgt 0.002^4

Die Wahrscheinlichkeit, dass Motor Nummer 1 ausfällt, beträgt 0.002.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Motoren 1, 2, 3 ausfallen, beträgt: 0.002^3
Die Wahrscheinlichkeit, dass Motoren 1, 2, 4 ausfallen, beträgt: 0.002^3
Die Wahrscheinlichkeit, dass Motoren 1, 3, 4 ausfallen, beträgt: 0.002^3
Die Wahrscheinlichkeit, dass Motoren 2, 3, 4 ausfallen, beträgt: 0.002^3

Die Wahrscheinlichkeit, dass Motoren 1, 2, 3 ausfallen, und Motor 4 läuft, beträgt: 0.002^3 * 0.998

Daraus folgt, dass das 4-motorige Flugzeug eine Betriebssicherheit hat von:
1 - 0.002^4 - 4*0.002^3*0.998 = 0.999999968048 oder, anders und sinnvoller ausgedrückt: Es fällt zu 3.1952 * 10^(-6) % aus.

Das heisst: Das 4-motorige Flugzeug ist rund (0.0004%)/(3.1952 * 10^(-6)%) = 125.2 Mal betriebssicherer als das zweimotorige Flugzeug.


Vielen Dank HAL 9000 für das gute Führen und Korrigieren! smile (und die Geduld natürlich Augenzwinkern )
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist richtig. Die etwas länglichen Rechnungen kann man abkürzen wenn man sich überlegt, dass die Anzahl der ausgefallenen Triebwerke bei insgesamt n Triebwerken einfach binomialverteilt ist. Damit hat man

Zweimotoriges Flugzeug (n=2): Ausfall bei

Viermotoriges Flugzeug (n=4): Ausfall bei .

Was insbesondere beim viermotorigen Flugzeug die Darstellung der Rechnung etwas abkürzt.


Ob man den Quotienten der Ausfallwahrscheinlichkeiten dann zu "soundsoviel mal sicherer" verarbeiten kann, da würde ich noch vorsichtig sein. Aber vermutlich wird dir keiner einen Strick draus drehen wollen. Augenzwinkern
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

nach diversen "Vorkommnissen" u.a. der Absturz einer Verkehrsmaschine wegen fehlerhafter Geschwindigkeitsanzeige haben die Fluggesellschaften zurückgerudert. Der Kapitän soll sich wieder verstärkt dem Fliegen widmen.
"Sully" hätte sicher auf niedriger Höhe ein kleines Schiebefensters geöffnet oder eingeschlagen und anhand der Windgeräusche eine passende Geschwindigkeit gewählt. Augenzwinkern

Apropos Vogelschlagunglück und Landung auf dem Hudson: Perfekt wäre es gewesen auch noch die Antiflutventlile zu schließen, aber das stand auf der Notfall chekliste zu weit hinten...
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