Untergruppe von S(n+1) die zu S(n) isomorph ist.

06.11.2017, 22:54	HaraldB	Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppe von S(n+1) die zu S(n) isomorph ist. Meine Frage: Gibt es eine Untergruppe von S_(n+1) die zu S_n isomorph ist? Meine Ideen: Ich muss ja eine Untergruppe von S_(n+1) bilden, die einen Homomorphismus zu S_n hat. Da S ja die Mengen bijektiver Abbildungen sind, sollte dann ja auch der Homomorphismus bijektiv sein, also ein Isomorphismus sein, oder? Google spuckt mir nur den Satz von Caylay aus, den ich aber nicht verstehe... Kann mir wer helfen?
07.11.2017, 00:04	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist eine naheliegende Idee, eine zu $\begin{align} S_n \end{align}$ isomorphe Untergruppe von $\begin{align} S_{n+1} \end{align}$ zu finden?
07.11.2017, 08:18	HaraldB	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sagen, dass man eventuell die Untergruppe von S_(n+1) mit nur der Identität isomorph zu S_n ist, kann das sein? Sei f der Homomorphismus und bilde x auf x ab und a eine Funktion aus S_n und id die Identiät in S_(n+1) Weil f(a°id)(x)=f°a°id(x)=f(a)°id(x)=(f(a)°f(id))(x)
07.11.2017, 10:42	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du denn darauf? Im allgemeinen ist $\begin{align} S_n \end{align}$ nicht isomorph zur trivialen Gruppe. Betrachte mal zur Veranschaulichung $\begin{align} S_3 \end{align}$ . Welche Elemente bilden hier eine Untergruppe, die isomorph zu $\begin{align} S_2 \end{align}$ ist?
07.11.2017, 13:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie man leicht sieht, enthält die $\begin{eqnarray} S_{n+1} \end{eqnarray}$ ( genau ? ) $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ Untergruppen, die isomorph zur $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ sind.

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