Normalteiler Ordnung

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MBlübaum Auf diesen Beitrag antworten »
Normalteiler Ordnung
Meine Frage:
Hallo,

eine alte Staatsexamensaufgabe zur Algebra, bei der ich nicht weiterkomme:

Zeigen Sie:
(a) Jede Gruppe der Ordnung 4 hat einen Normalteiler der Ordnung 2.
(b) Besitzt eine Gruppe G einen Normalteiler vom Index 4, so besitzt sie auch einen Normalteiler
vom Index 2.

Meine Ideen:
Also. Eine Untergruppe N ist ja ein Normalteiler, wenn für alle n aus N und alle g aus G.

Weiterhin kenne ich den Satz von Lagrange, der besagt, dass (hier bei a) jede Untergruppe von G die Ordnung 1, 2 oder 4 haben muss (wobei 1 und 4 ja einfach das neutrale Element bzw. die Gruppe an sich sind).

Aber erstens weiß ich ja nicht, dass es überhaupt eine Untergruppe der Ordnung 2 gibt, und zweitens weiß ich nicht, wie ich dann nachprüfen soll, dass sie ein Normalteiler ist. Mit obiger Definition komme ich da nicht weiter.

Bei b) sieht es so aus, als würde man auch den Satz von Lagrange brauchen, aber leider fehlt mir auch hier die Beweisidee.

Ich weiß, das ist nicht gerade viel Input, aber mit solchen Beweisen tue ich mich einfach schwer, auch wenn sie jedem leicht zu fallen scheinen. Ich hatte gehofft, dass mir hier jemand helfen kann.

Vielen Dank im Voraus.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das liegt vielleicht daran, dass die beiden Gruppen der Ordnung 4 abelsch sind.
Prüfungsfragen zur Algebra befassen sich gerne mit Gruppen kleiner Ordnung: https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_kleiner_Gruppen
 
 
MBlübaum Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort.

Das mit dem abelsch hilft mir schon weiter, denn bei abelschen Gruppen stimmen ja Links- und Rechtsnebenklassen bezüglich einer Untergruppe überein, also ist die Untergruppe ein Normalteiler.

Da ja Z_2 auch Untergruppe der beiden Gruppe der Ordnung 4 ist, wäre a) also gezeigt.

Hast du auch einen Tipp zur b)?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

b) G hat nach Voraussetzung einen Normalteiler N vom Index 4. Was ist dann wohl die Faktorgruppe G/N ? Na eben ... wende darauf a) an.
MBlübaum Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwas entgeht mir immer noch... G/N ist also eine Gruppe der Ordnung 4, und aus a) kann ich folgern, dass G/N einen Normalteiler M mit Ordnung 2 hat. Somit gilt . Im ersten Moment dachte ich, dass dann also NM ein Normalteiler vom Index 2 ist. Es scheint vom Index her im ersten Moment zu passen, aber wer sagt mir denn, dass NM überhaupt Normalteiler von G ist?
Außerdem gilt im Allgemeinen doch nicht .

Was übersehe ich hier noch?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

G/N muss eine Untergruppe der Ordnung 2 haben. Also gibt es eine Untergruppe M vom Index 2 in G. Jede Untergruppe vom Index 2 ist ein Normalteiler.
MBlübaum Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Also gibt es eine Untergruppe M vom Index 2 in G.


Warum diese Folgerung gilt, verstehe ich leider noch nicht.

Zitat:
Original von Elvis
Jede Untergruppe vom Index 2 ist ein Normalteiler.


Diese Aussage kenne ich noch nicht. Wieso gilt das?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist isomorph zu , was uns nicht sonderlich erstaunt, also ist der Untergruppenverband von isomorph zum Teiluntergruppenverband zwischen und . Warum das ? Wenn zwei Gruppen isomorph sind, kann man sie in der Gruppentheorie nicht unterscheiden, also haben sie dieselben Untergruppen.

Sei eine Untergruppe von vom Index 2 und , dann gilt und
(Diesen Beweis sollte man sich merken, irgendwann fragt jemand danach)
MBlübaum Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Erklärungen Freude
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