Rechnen mit Beträgen

07.11.2017, 14:16

Kathreena

Rechnen mit Beträgen

Bestimme Lösungsmenge:

$\begin{eqnarray*} |x^2+2x+1| \geq (|x|-1)^2 \end{eqnarray*}$

_______________________________

Darf ich das so umschreiben ?

$\begin{eqnarray*} x^2+|2x|+1 \geq (|x|-1)^2 \end{eqnarray*}$

weil $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ immer positiv ist, und 1 sowieso.

Ich komme dann aber auf die Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} L=\left\{(-\infty , \infty )\right\} \end{eqnarray*}$

Kann das stimmen?

07.11.2017, 14:18

klarsoweit

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RE: Rechnen mit Beträgen

Zitat:

Original von Kathreena
Darf ich das so umschreiben ?

$\begin{eqnarray*} x^2+|2x|+1 \geq (|x|-1)^2 \end{eqnarray*}$

weil $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ immer positiv ist, und 1 sowieso.

Also $\begin{eqnarray*} |x^2+2x+1| = x^2+|2x|+1 \end{eqnarray*}$ ? Mache einen Test mit x=-1 . Upps. geschockt

07.11.2017, 14:31

Kathreena

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ok darf ich nicht, hatte es mit $\begin{eqnarray*} |a + b| = |a|+|b| \end{eqnarray*}$ in Erinnerung.

Aber es gillt wohl, $\begin{eqnarray*} |a + b| \leq |a|+|b| \end{eqnarray*}$

Dann muss ich das so umschreiben:

$\begin{eqnarray*} [|x^2+2x+1| \geq (|x|-1)^2 ]= [|x^2+2x+1| \geq |x|^2 -2|x| +1] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x^2+2x+1| \geq x^2 -2|x| +1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |(x+1)^2| \geq x^2 -2|x| +1 \end{eqnarray*}$

Nun kann ich aber sagen das $\begin{eqnarray*} |(x+1)^2| \end{eqnarray*}$ immer positiv ist also $\begin{eqnarray*} |(x+1)^2| = (x+1)^2 \end{eqnarray*}$

07.11.2017, 14:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kathreena
Dann muss ich das so umschreiben:

$\begin{eqnarray*} [|x^2+2x+1| \geq (|x|-1)^2 ]= [|x^2+2x+1| \geq |x|^2 -2|x| +1] \end{eqnarray*}$

Das ist formal abseits der Spur. So ist es korrekt:

$\begin{eqnarray*} |x^2+2x+1| \geq (|x|-1)^2 \Leftrightarrow |x^2+2x+1| \geq |x|^2 -2|x| +1 \end{eqnarray*}$

Der Rest ist dann ok.

07.11.2017, 15:02

Kathreena

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Ich komme dann aber trotzdem wieder auf die Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} L=\left\{(-\infty , \infty )\right\} \end{eqnarray*}$

07.11.2017, 15:10

klarsoweit

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Dagegen hatte ich ja auch nichts. smile

07.11.2017, 15:36

Kathreena

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ok danke

edit: wie kann ich eigentlich herausfinden, auf die schnelle, ob meine Lösungsmenge stimmt ?

07.11.2017, 17:53

HAL 9000

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Bei Gleichungen, wo man i.d.R. wenige, endlich viele Lösungen hat, setzt man die alle nacheinander in die Ausgangsgleichung ein, nennt man "Probe" - die ist unbedingt nötig, wenn man auf dem Weg zur Lösung nichtäquivalente Umformungsschritte (z.B. Quadrierungen) vorgenommen hat.

Bei Ungleichungen mit i.d.R. Lösungsintervallen ist das sehr viel schwieriger. Deswegen ist es hier umso wichtiger, dass sämtliche Schritte äquivalente Umformungen sind - und sei es auf Kosten einer notwendigen Fallunterscheidung.

Irgendwie hast du hier auch nicht konsequent bis zum Ende dargestellt, wie du auf korrektem Weg (!) zur Lösung gelangt bist:

Ausgehend von deiner richtigen Erkenntnis $\begin{align*} |x^2+2x+1| = |(x+1)^2| = (x+1)^2 \end{align*}$ bekommt man hier

$\begin{align*} x^2+2x+1 &\geq |x|^2-2|x|+1<br /> x^2+2x+1 &\geq x^2-2|x|+1 \quad \bigm| \;-x^2-1<br /> 2x &\geq -2|x| \quad \bigm| \; :2<br /> x &\geq -|x| \end{align*}$ .

Letzteres ist offensichtlich für alle reellen $\begin{align*} x \end{align*}$ erfüllt (für nichtpositive x mit Gleichheit). Alle Umformungsschritte sind äquivalent, d.h., umkehrbar - damit ist keine Probe nötig.

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