Induktionsbeweis

07.11.2017, 17:13

Kathreena

Induktionsbeweis

Für alle n gilt $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^k \cdot k^2 = (-1)^n \cdot \begin{pmatrix} n+1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

__________________________________________
Induktionsanfang:

n=1

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{1} (-1)^1 \cdot 1^2 = (-1)^1 \cdot \begin{pmatrix} 1+1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1 = -1 \end{eqnarray*}$

Für n = 1 stimmt die Gleichung

Induktionsbehauptung:
$\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb R , n\geq 1:\sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^k \cdot k^2 = (-1)^n \cdot \begin{pmatrix} n+1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt:
zu zeigen: für n+1 stimmt die Gleichung auch

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^k \cdot k^2 = \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^k \cdot k^2 + (-1)^k \cdot k^2=(-1)^n \cdot \begin{pmatrix} n+1 \\ 2 \end{pmatrix} + (-1)^k \cdot k^2 \end{eqnarray*}$

das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ verwirrt mich etwas, heißt das k immer = 1 ?, also wird im Prinzip -1 n mal mit sich selbst summiert ?

Wenn das stimmt dann:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} (-1) -1 =(-1)^n \cdot \begin{pmatrix} n+1 \\ 2 \end{pmatrix} -1 \end{eqnarray*}$

Dann hätte ich den Beweis erbracht, weil es hat sich nichts geändert, außer das eine -1 dazugekommen ist, auf beiden Seiten ?

07.11.2017, 17:33

HAL 9000

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RE: Induktionsbeweis

Zitat:

Original von Kathreena
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^k \cdot k^2 = \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^k \cdot k^2 + {\color{red}(-1)^k \cdot k^2} \end{eqnarray*}$

Nein. Was du hier eigentlich tun willst, ist den letzten Summanden (d.h. den für k=n+1) aus der Summe herauslösen und extra einzeln hinschreiben. Das bedeutet dann aber tatsächlich

$\begin{align*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^k \cdot k^2 = \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^k \cdot k^2 + {\color{red}(-1)^{n+1} \cdot (n+1)^2} = (-1)^n \cdot \binom{n+1}{2} + (-1)^{n+1} \cdot (n+1)^2 \end{align*}$

Wenn es dir nun gelingt, das ganz rechts durch Umformen auf die Form $\begin{align*} (-1)^{n+1} \cdot \binom{n+2}{2} \end{align*}$ zu bringen, dann ist der Induktionsschritt vollbracht.

07.11.2017, 18:00

Kathreena

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Reichts wenn ichs einfach so hinschreibe, dann hab ich auf der rechten Seite einfach für n:=n+1 eingesetzt, anstatt es mit $\begin{eqnarray*} + (-1)^{n+1} \cdot (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ hinzuschreiben.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^k \cdot k^2 = \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^k \cdot k^2 + (-1)^{n+1} \cdot (n+1)^2=(-1)^{n+1} \cdot \begin{pmatrix} n+2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich wüsste nämlich nich, wie ich $\begin{eqnarray*} [latex]+ (-1)^{n+1} \cdot (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ [/latex] in einen binomialkoeffizenten verwandle.

07.11.2017, 18:06

HAL 9000

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Du meinst, man schreibt einfach hin, dass es gilt, ohne es nachzuprüfen? Sozusagen "Beweis per Akklamation" ?

Hat unter Wissenschaftlern keinen besonders guten Ruf. unglücklich

Nein, du musst die Gleichheit seriös nachweisen. Nutze dabei, dass die Darstellung $\begin{align*} \binom{n+1}{2} = \frac{(n+1)n}{2} \end{align*}$ und "eins weiter gerückt" dann auch $\begin{align*} \binom{n+2}{2} = \frac{(n+2)(n+1)}{2} \end{align*}$ gilt.

07.11.2017, 19:02

Kathreena

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^k \cdot k^2 = \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^k \cdot k^2 + (-1)^{n+1} \cdot (n+1)^2=(-1)^n \cdot \begin{pmatrix} n+1 \\ 2 \end{pmatrix} + (-1)^{n+1} \cdot (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Nebenrechnung;
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{(n+1)!}{2(n-1)!} = \frac{n \cdot (n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+2 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{(n+2)!}{2(n)!} = \frac{(n+1) \cdot (n+2)}{2} = \frac{n^2+3n+2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1)^2 = n^2+2n+2 = \frac{2n^2+4n+4}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2n^2+4n+4}{2} \neq \frac{n^2+3n+2}{2} \end{eqnarray*}$

Was mach ich falsch ?

07.11.2017, 19:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kathreena
$\begin{eqnarray*} (n+1)^2 = n^2+2n+{\color{red}2} \end{eqnarray*}$

Tatsächlich?

Und denk auch mal bitte genau darüber nach, was die $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ bewirken!

07.11.2017, 19:49

Kathreena

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Die können das Vorzeichen ändern. Das heißt die beiden haben immer ein unterschiedliches Vorzeichen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{(n+1)!}{2(n-1)!} = \frac{n \cdot (n+1)}{2} = \frac{n^2 +n}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1)^2 = n^2+2n+1 = \frac{2n^2+4n+2}{2} \end{eqnarray*}$

__________________________

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^k \cdot k^2 = \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^k \cdot k^2 + (-1)^{n+1} \cdot (n+1)^2=(-1)^n \cdot \begin{pmatrix} n+1 \\ 2 \end{pmatrix} + (-1)^{n+1} \cdot (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-1)^n \cdot \frac{n^2 +n}{2}+ (-1)^{n+1} \cdot \frac{2n^2+4n+2}{2} = (-1)^{n+1}(- \frac{n^2 +n}{2} + \frac{2n^2+4n+2}{2}) = (-1)^{n+1} \cdot \frac{n^2+3n+2}{2} =(-1)^{n+1} \cdot \begin{pmatrix} n+2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie schreib ich das nun hin:

Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^k \cdot k^2 = \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^k \cdot k^2 + (-1)^{n+1} \cdot (n+1)^2=(-1)^n \cdot \begin{pmatrix} n+1 \\ 2 \end{pmatrix} + (-1)^{n+1} \cdot (n+1)^2 = (-1)^n \cdot \frac{n^2 +n}{2}+ (-1)^{n+1} \cdot \frac{2n^2+4n+2}{2} = (-1)^{n+1} \cdot \frac{n^2+3n+2}{2}= (-1)^{n+1} \cdot \begin{pmatrix} n+2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

07.11.2017, 19:57

HAL 9000

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Genauso klappt es, wie in der letzten Zeile ausgeführt. Freude

07.11.2017, 20:06

Kathreena

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merci

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