Vereinigung von Intervallen

07.11.2017, 20:47	Statista	Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinigung von Intervallen Meine Frage: Beschreiben Sie die Menge $\begin{eqnarray} \{x\in \mathbb{R}:\vert2x+1\vert \geq \vert x-2 \vert \} \end{eqnarray}$ als Vereinigung von Intervallen (und zeigen Sie die Mengengleichheit. Meine Ideen: Ich hätte folgende Intervalle als Vorschlag: $\begin{eqnarray} (-\infty , -3] \cup [\frac{1}{3} , \infty) \end{eqnarray}$ . Ist dies korrekt? Ich habe die Intervalle mehr oder weniger durch ausprobieren herausgefunden, gibt es auch eine rechnerischere Methode?
07.11.2017, 21:48	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Schauen wir uns doch einmal die Funktion f(x)=\|2x+1\|-\|x-2\| an: Das sieht schon einmal gut aus mit deinem Lösungsvorschlag. Rechnerisch sind Fallunterscheidungen angesagt. $\begin{align} 1)~x\geq 2 \end{align}$ führt zu $\begin{align} 2x+1\geq x-2 \end{align}$ $\begin{align} 2)~ -\frac 12<x<2 \end{align}$ führt zu $\begin{align} 2x+1\geq 2-x \end{align}$ $\begin{align} 3)~ x\leq -\frac 12 \end{align}$ führt zu $\begin{align} -(2x+1)\geq 2-x \end{align}$
08.11.2017, 11:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch denkbar: $\begin{align} \|2x+1\|\geq \|x-2\| \end{align}$ ist für reelle $\begin{align} x \end{align}$ äquivalent zu $\begin{align} (2x+1)^2 &\geq (x-2)^2<br /> (2x+1)^2-(x-2)^2 &\geq 0<br /> ((2x+1)-(x-2))((2x+1)+(x-2)) &\geq 0<br /> (x+3)(3x-1) &\geq 0<br /> (x+3)\left(x-\frac{1}{3}\right) &\geq 0 \end{align}$ Das Produkt links ist $\begin{align} \geq 0 \end{align}$ , wenn beide Faktoren $\begin{align} \geq 0 \end{align}$ sind oder beide Faktoren $\begin{align} \leq 0 \end{align}$ . Ersteres ergibt Intervall $\begin{align} \left[\frac{1}{3},\infty\right) \end{align}$ , letzteres hingegen $\begin{align} \left(-\infty,-3\right] \end{align}$ .

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