Diagonalisierbarkeit über bel. Körper bei symetrischen 2x2 Matrizen

07.11.2017, 21:57

anderson94

Diagonalisierbarkeit über bel. Körper bei symetrischen 2x2 Matrizen

Meine Frage:
Servus Leute,

Sitze gerade an einem Problem bzgl. Diagonalisierbarkeit.

Ich solle zeigen, dass jede reelle Matrix A der Form

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ diagonalisierbar ist

Der Teil war eher Einfach, indem ich gezeigt habe, dass die algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte gleich den geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte sind.

Nun stand da noch die Frage ob das auch über beliebige Körper gilt?

Meine Ideen:
Hier stehe ich ein wenig an, die einzige Frage wäre doch noch ob es für den Körper der komplexen Zahlen auch geht oder? Oder verstehe ich das falsch? Und laut meinen Überlegungen geht des über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ auch. Ich bin mir nicht ganz sicher ob die Fragestellung richtig interpretiert wurde.

würde mich um jede Hilfe freuen.

mfg

07.11.2017, 22:47

Helferlein

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Es gibt noch wesentlich mehr Körper als $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}, \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ .
Zeig uns am besten mal deine genaue Begründung (welches sind die Eigenwerte und welche Vielfachheit haben sie?)

07.11.2017, 22:49

jester.

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Man findet unter Anderem über $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ leicht $\begin{eqnarray*} 2\times 2 \end{eqnarray*}$ -Matrizen, die symmetrisch aber nicht diagonalisierbar sind.

Ansatz: Man sucht eine symmetrische Matrix, deren Jordan-Normalform $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&1\\0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist
Dazu setzt man an $\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix}a&b \\ b&-a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (Einträge neben der Diagonalen wg. Symmetrie, Diagonaleinträge wg. der Spur). Zu lösen hat man dann $\begin{eqnarray*} \det(X)=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (a,b)\neq (0,0) \end{eqnarray*}$ .

08.11.2017, 10:33

anderson94

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@Helferlein
Ja das stimmt, aber ich kann es ja nicht für alle Körper zeigen. Hier geht es dann wahrscheinlich eher um die Körperaxiome, dass die in Verbindung mit den von mir durchgeführten Operationen passen.

Also hier mal mein weg wie ich zu den Vielfachheiten gekommen bin.

1) Charakteristisches Polynom Pa(x) = det(A-xE2) gebildet, wobei E2 die 2x2 Einheitsmatrix ist.
dann bekomme ich als Determinante $\begin{eqnarray*} (a-x)^{2} -b^{2} \end{eqnarray*}$ .
dann habe ich binomisch erweitert und kam auf Pa(x)= $\begin{eqnarray*} ((a-x)+b)*((a-x)-b) \end{eqnarray*}$ als ch. Polynom.

Das dann 0 gesetzt $\begin{eqnarray*} ((a-x)+b)*((a-x)-b)=0 \end{eqnarray*}$ und einem bekomme ich dann ((a-x)+b)=0 => x1=a+b und
aus ((a-x)-b)=0 folgt x2=a-b , wobei x1 und x2 meine Eigenwerte sind jeweils mit den algeb. Vielfachheiten 1. Jetzt muss ich noch zeigen dass die geometrischen Vf jeweils auch 1 sind, also die dim der Eigenräume zu den jeweiligen EW jeweils 1.

Eigenraum zu x1= ker(A-x1E2) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a-(a+b) & b \\ b & a-(a-b) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -b & b \\ b & -b \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b & -b \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ => defekt ist 1 also ist die dim des ER zu x1 auch 1 und somit die geom. VF =1 bzw. Wäre ja eine Basis des Eigenraums : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das ganze habe ich auch beim EW x2 gemacht und bin auch zu geom. VF 1 gekommen hier wäre eine Basis des ER: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

somit stimmen die VF überein und die Matrix ist diagonalisierbar. meine durchgeführten Operationen decken sich ja mit den Körperaxiomen bzw. sind bei den Axiomen dabei, also müsste es doch für bel. Körper gehen oder?

@jester. ja aber meine Matrix ist "auf beiden Seiten" symetrsich also die muss die strickte Form wie oben haben. In den beiden Diagonalen stehen die selben Elemente .

08.11.2017, 11:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von anderson94
((a-x)+b)=0 => x1=a+b und aus ((a-x)-b)=0 folgt x2=a-b , wobei x1 und x2 meine Eigenwerte sind jeweils mit den algeb. Vielfachheiten 1.

Dieser Schluss benötigt $\begin{align*} b\neq 0 \end{align*}$ . Ist das vorausgesetzt? Falls nicht, muss $\begin{align*} b=0 \end{align*}$ extra diskutiert werden - was natürlich nicht allzu aufwändig ist. Big Laugh

08.11.2017, 11:26

anderson94

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@HAL9000
Das wurde von mir als trivialer Fall angenommen, da falls b=0 Matrix A schon diagonalform hat Lehrer

08.11.2017, 18:36

jester.

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Zitat:

Original von anderson94
@jester. ja aber meine Matrix ist "auf beiden Seiten" symetrsich also die muss die strickte Form wie oben haben. In den beiden Diagonalen stehen die selben Elemente .

Stimmt, das habe ich übersehen. Macht aber nichts. Dann betrachtet man das ganze halt nur über $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ . Dort ist die Bedingung ja erfüllt.

08.11.2017, 20:35

anderson94

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@jester
Du hast deinen Beitrag ja editiert, also gehts über C schon, weil habs nachgerechnet deshalb war ich mir unsicher haha und F2 ist ja der Körper mit 0 und 1 als Element hier nehme ich ja praktisch an dass a=0 ist und b=1 oder gehts auch umgekehrt? Könntest du mir hoer einwenig den Widerspruch ansagen warum bzw wo es üner den Körper F2 scheitert? Bin leider gerade ein wenig gehindert und kann somit nur Gedankenspiele treiben, muss das aber dann Morgen abgeben 😅😅
Lg

08.11.2017, 20:43

Helferlein

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Der Trugschluss liegt hierin:

Zitat:

Original von anderson94
=> x1=a+b und
aus ((a-x)-b)=0 folgt x2=a-b , wobei x1 und x2 meine Eigenwerte sind jeweils mit den algeb. Vielfachheiten 1.

Für Körper der Charakteristik zwei ist b=-b und somit die Vielfachheit eben nicht eins, sondern zwei.

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